Механика и молекулярная физика - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

59
7.4. Затухающие колебания
Если колебания происходят в какой –либо внешней среде,
оказывающей сопротивление движению, то колебания происхо-
дят с затуханием.
В простейшем случае сила сопротивления пропор-
циональна величине скорости:
.СОПР
F
dt
dx
bbvF
СОПР
−=−=
.
, где коэффи-
циент b называется коэффициентом сопротивления. Уравнение
второго закона Ньютона при наличии возвращающей силы (см.
раздел 7.1) и силы сопротивления имеет вид:
xm
dt
dx
b
d
t
xd
m
2
0
ω−−=
2
2
. Применив обозначение
m
b
=
β
2
, последнее
уравнение перепишем в виде:
02
2
2
=ω++
2
0
x
dt
dx
d
t
xd
β
. (7.17)
Это дифференциальное уравнение описывает затухающие
колебания. В теории дифференциальных уравнений доказывает-
ся, что решением уравнения (7.17) является функция:
)cos()()(
0
α
+
ω
=
ttAtx
, (7.18)
где амплитуда:
)exp()(
0
tAtA
β
−
=
(7.19)
экспоненциально уменьшается с течением времени.
2
β
−ω=ω
2
0
(7.20)
частота затухающих колебаний. Начальная амплитуда A
0
и на-
чальная фаза
0
α
определяются начальными условиями (рис. 7.5).
В соответствии с видом функции
)(
t
A
колебательное движение
можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с
амплитудой
)(
t
A
, изменяющейся по экспоненте. Скорость зату-
хания колебаний определяется величиной
mb 2
β
, которая на-
зывается коэффициентом затухания. Коэффициент затухания об-
ратен по величине промежутку времени τ , за который амплитуда
колебаний уменьшается в “e”раз. Действительно, при βτ=1 ам-
                                59
                     7.4. Затухающие колебания
      Если колебания происходят в какой –либо внешней среде,
оказывающей сопротивление движению, то колебания происхо-
дят с затуханием.
      В простейшем случае сила сопротивления FСОПР. пропор-
                                                     dx
циональна величине скорости: FСОПР. = −bv = −b , где коэффи-
                                                     dt
циент b называется коэффициентом сопротивления. Уравнение
второго закона Ньютона при наличии возвращающей силы (см.
раздел     7.1)   и    силы         сопротивления       имеет   вид:
  d 2x      dx                                           b
m 2 = −b − mω02 x . Применив обозначение 2 β = , последнее
   dt       dt                                          m
уравнение перепишем в виде:
                     d 2x         dx
                        2
                            + 2 β     + ω02 x = 0 .           (7.17)
                     dt           dt
      Это дифференциальное уравнение описывает затухающие
колебания. В теории дифференциальных уравнений доказывает-
ся, что решением уравнения (7.17) является функция:
                      x(t ) = A(t ) cos(ωt + α 0 ) ,          (7.18)
      где амплитуда:
                       A(t ) = A0 exp( −β t )                 (7.19)
      экспоненциально уменьшается с течением времени.
                         ω = ω02 − β 2                  (7.20)
частота затухающих колебаний. Начальная амплитуда A0 и на-
чальная фаза α 0 определяются начальными условиями (рис. 7.5).
В соответствии с видом функции A(t ) колебательное движение
можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с
амплитудой A(t ) , изменяющейся по экспоненте. Скорость зату-
хания колебаний определяется величиной β = b 2m , которая на-
зывается коэффициентом затухания. Коэффициент затухания об-
ратен по величине промежутку времени τ , за который амплитуда
колебаний уменьшается в “e”раз. Действительно, при βτ=1 ам-

Страницы