Теория вероятностей. Бестугин А.Р - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10
 ñëó÷àå êîãäà ïðîñòðàíñòâî Ω áåñêîíå÷íî, äîáàâëÿþò åùå
îäíó àêñèîìó:
4) åñëè {A
n
} – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé, òî p(
1
n
n
A
∞
=
∪
) =
1
()
n
n
pA
∞
=
∑
(ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü p).
Èç ýòèõ àêñèîì ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
1) âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ A ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì
÷èñëîì, íå ïðåâûøàþùèì åäèíèöû, 0
≤
p(A)
≤
1;
2) âåðîÿòíîñòü íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ V ðàâíà íóëþ, p(V) = 0;
3) âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ p(
A
) = 1 – p(A).
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñ-
òè ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñ àêñèîìàìè âåðîÿòíîñòè.
2.4. Ðàçìåùåíèå è ñî÷åòàíèÿ
Ïðèâåäåì âàæíûå â ïðàêòè÷åñêîì îòíîøåíèè ïîíÿòèÿ ðàç-
ìåùåíèé, ïåðåñòàíîâîê è ñî÷åòàíèé. Ïóñòü èìååòñÿ êîíå÷íîå
ìíîæåñòâî X ={x
1
, x
2
, x
3
, …, x
N
}, ñîñòîÿùåå èç N ýëåìåíòîâ.
Îïðåäåëåíèå. Ðàçìåùåíèåì èç N ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X ïî k
ýëåìåíòàì íàçûâàåòñÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííûé íàáîð (x
j1
, x
j2
, …, x
jk
)
è (x
i1
, x
i2
, …, x
ik
) ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x
j
= x
i
$
,
$
=
=1,2,
…
, k. ×èñëî âñåõ ðàçëè÷íûõ ðàçìåùåíèé èç N ýëåìåíòîâ
ïî k îáîçíà÷àåòñÿ
k
N
A
è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
k
N
A
= N(N–1)
…
(N–k+1) =
!
,
()!
N
Nk−
ãäå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
0
N
A
= 1.
Îïðåäåëåíèå. ×àñòíûé ñëó÷àé ðàçìåùåíèÿ ïðè k = N íàçû-
âàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé èç N ýëåìåíòîâ. ×èñëî âñåõ ïåðåñòàíî-
âîê èç N ýëåìåíòîâ ðàâíî
N
N
A
= N(N–1)...2
•
1 = N!.
Îïðåäåëåíèå. Ñî÷åòàíèåì èç N ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X ïî k
íàçûâàåòñÿ ëþáîå ïîäìíîæåñòâî {x
j1
, x
j2
, …, x
jk
}, ñîñòîÿùåå èç k
ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Õ.
×èñëî âñåõ ñî÷åòàíèé èç N ïî k îáîçíà÷àåòñÿ
k
N
C
è âû÷èñëÿ-
åòñÿ ïî ôîðìóëå:
(1)( 1)
!
.
!(1)21!()!
k
k
N
N
A
NN N k
N
C
kkk kNk
−… − +
== =
−…⋅ −

Страницы