Теория вероятностей. Бестугин А.Р - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

17
()
()
.
()
A
pA B
pB
pA
∩
=
Òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé: âåðîÿòíîñòü ïåðåñå÷å-
íèÿ äâóõ ñîáûòèé À è Â ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè ñîáû-
òèÿ À íà óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Â ïðè óñëîâèè, ÷òî
ñîáûòèå À óæå ïðîèçîøëî,
p(A ∩ B) = p(A)p
A
(B).
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåðàçðûâíî
ñâÿçàíà ñ ïîíÿòèåì óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Ñëåäñòâèåì ýòîé
òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïåðå-
ñå÷åíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Âåðîÿòíîñòü ñîâìåñòíîãî
ïîÿâëåíèÿ íåñêîëüêèõ ñîáûòèé (ò. å. èõ ïåðåñå÷åíèÿ) ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè îäíîãî èç íèõ íà óñëîâíûå âåðîÿò-
íîñòè âñåõ îñòàëüíûõ, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòè êàæäîãî ïîñëåäóþ-
ùåãî ñîáûòèÿ âû÷èñëÿþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå ïðåäû-
äóùèå ñîáûòèÿ óæå íàñòóïèëè
112 121
12 1 2 3
() ()()()(),
n
n A AA AA A n
pA A A pA p A p A p A
−
∩∩∩…∩
∩∩…∩ = ⋅ ⋅ …
ãäå
12 1
()
n
AA A n
pA
−
∩∩…∩
– âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A
n
ïðè óñëîâèè, ÷òî
ñîáûòèÿ A
1
, A
2
, …, A
n–1
óæå ïðîèçîøëè.
Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ À è Â íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
âåðîÿòíîñòü èõ ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé
p(A ∩ B) = p(A)p(B).
Ýòî îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé À è Â ýêâèâàëåíò-
íî òðåáîâàíèþ ñîâïàäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ Â è óñëîâíîé
âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ Â ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå À óæå ïðî-
èçîøëî p(B) = p
A
(B), èëè, àíàëîãè÷íî p(A) = p
B
(A).
 ñëó÷àå íåñêîëüêèõ ñîáûòèé, íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè,
âåðîÿòíîñòü èõ ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ
ñîáûòèé
12 1 2 3
( ) ()()() ().
nn
pA A A pA pA pA pA∩∩…∩ = ⋅ ⋅ …
3.3. Ñõåìà íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé
Âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë ñëîæåíèÿ è
óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñõåìà. Ïóñòü ïðîâîäèòñÿ êî-
íå÷íîå ÷èñëî n ïîñëåäîâàòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â

Страницы