Теория вероятностей. Бестугин А.Р - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

19
3.4. Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ
Ï ð è ì å ð 1. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ðàâíà p. Äîêàçàòü, ÷òî
âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà (1 – p).
Ðåøåíèå. Ïîêàæåì, ÷òî ñîáûòèÿ A è
A
îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóï-
ïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Ñîáûòèå
A
, ïðîòèâîïîëîæíîå ñî-
áûòèþ A, íàñòóïàåò â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñîáûòèå À íå ïîÿâèëîñü.
Ïîýòîìó ýòè ñîáûòèÿ íåñîâìåñòíû, ò. å. îíè íå ìîãóò íàñòó-
ïèòü îäíîâðåìåííî â äàííîì îïûòå. Èç îïðåäåëåíèÿ ñîáûòèÿ
A
ñëåäóåò, ÷òî îáúåäèíåíèå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé À è
A
äàåò
äîñòîâåðíîå ñîáûòèå (ñîáûòèå À ïðîèçîéäåò èëè íå ïðîèçîé-
äåò). Èòàê, ñîáûòèÿ À è
A
îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñò-
íûõ ñîáûòèé, ò. å. îíè íåñîâìåñòíû è
AA U∪=
.
Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåñîâìå-
ñòíûõ ñîáûòèé, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáû-
òèÿ ðàâíà 1,
p(A) + p(
A
) = 1.
Âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ îáîçíà÷àþò ÷åðåç q.
Òàêèì îáðàçîì, q = p(
A
) = 1 – p(A) = 1 – p.
Ï ð è ì å ð 2. Äâà ñòðåëêà ñòðåëÿþò ïî ìèøåíè. Âåðîÿòíîñòü
ïîïàäàíèÿ â ìèøåíü ïðè îäíîì âûñòðåëå äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà
ðàâíà 0,7, à äëÿ âòîðîãî – 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè
îäíîì çàëïå â ìèøåíü ïîïàäåò òîëüêî îäèí èç ñòðåëêîâ.
Ðåøåíèå. Ïóñòü ñîáûòèå À åñòü ïîïàäàíèå â ìèøåíü ïåðâûì
ñòðåëêîì, à ñîáûòèå Â ïîïàäàíèå â ìèøåíü âòîðûì ñòðåëêîì.
Òîãäà ïðîòèâîïîëîæíûå ñîáûòèÿ áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü
A
–
ïðîìàõó ïåðâîãî ñòðåëêà,
B
– ïðîìàõó âòîðîãî ñòðåëêà. Ñîáû-
òèå Ñ íàñòóïàåò, êîãäà â ìèøåíü ïîïàäàåò òîëüêî îäèí èç ñòðåë-
êîâ. Ýòî ñîáûòèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
()(),CABAB
=∩∪∩
ò. å. ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç ñîáûòèé: ïåðâûé ñòðåëîê ïî-
ïàäàåò â ìèøåíü, à âòîðîé – íå ïîïàäàåò
()
AB
∩
, ëèáî ïåðâûé
ñòðåëîê íå ïîïàäàåò â ìèøåíü, à âòîðîé – ïîïàäàåò
()AB
∩ .
Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé À è Â èçâåñòíû, òî ëåãêî âû-
÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé (ñì. ïðèìåð 1)
p(
A
) = 1 – 0,7 = 0,3, p(
B
) = 1 – 0,8 = 0,2.
Ñîáûòèÿ
()
AB
∩
è
()
AB
∩
íåñîâìåñòíû, òàê êàê ïðè ïîÿâëå-
íèè ïåðâîãî äîëæíî íàñòóïèòü ñîáûòèå À, à ïðè ïîÿâëåíèè
âòîðîãî ñîáûòèÿ À äîëæíî íå íàñòóïèòü. Ñòðåëêè ñòðåëÿþò

Страницы