Теория вероятностей. Бестугин А.Р - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

27
íûé ñèãíàë ñ ïîìåõîé, òî óñòðîéñòâî ðåãèñòðèðóåò íàëè÷èå êà-
êîãî-òî ñèãíàëà ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95, à åñëè ïîìåõà – ñ âåðîÿò-
íîñòüþ 0,02. Èçâåñòíî, ÷òî óñòðîéñòâî çàðåãèñòðèðîâàëî íàëè-
÷èå êàêîãî-òî ñèãíàëà. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â åãî ñîñòà-
âå èìååòñÿ ïîëåçíûé ñèãíàë.
Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî ââåñòè ñëå-
äóþùóþ ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç: H
1
– ïîëåç-
íûé ñèãíàë íà âõîäå èìååòñÿ, H
2
– ïîëåçíîãî ñèãíàëà íà âõîäå
íåò. Âåðîÿòíîñòü ýòèõ ñîáûòèé ðàâíà p(H
1
) = 0,2, p(H
2
) = 0,8, à èõ
ñóììà äàåò åäèíèöó.
Ñîáûòèå À íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà óñòðîéñòâî ðåãèñòðèðóåò
íàëè÷èå êàêîãî-òî ñèãíàëà. Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè
óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå H
1
ïðîèçîøëî, ðàâíà
1
() 0,95.
H
pA
=
Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå
H
2
ïðîèçîøëî, ðàâíà
2
( ) 0,02.
H
pA
=
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è íóæíî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü íàëè÷èÿ
ïîëåçíîãî ñèãíàëà, åñëè óñòðîéñòâî çàðåãèñòðèðîâàëî êàêîé-òî
ñèãíàë, ò. å. óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü
1
()
A
pH
. Ýòà âåðîÿòíîñòü îï-
ðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Áàéåñà
1
!2
1
1
12
() ()
0, 2 0, 95
( ) 0,922.
( ) () ( ) () 0,20,95 0,80,002
H
A
HH
pH p A
pH
pH p A pH p A
⋅
===
+⋅+⋅
Ï ð è ì å ð 4. Áàòàðåÿ èç òðåõ îðóäèé ïðîèçâåëà çàëï, ïðè÷åì
äâà ñíàðÿäà ïîïàëè â öåëü. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîáû ïåð-
âîå îðóäèå äàëî ïîïàäàíèå, åñëè âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â öåëü
ïåðâûì, âòîðûì è òðåòüèì îðóäèÿìè ðàâíû 0,4; 0,3; 0,5.
Ðåøåíèå. Ââåäåì ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç: H
1
– ïåðâîå îðóäèå ïîïàëî â öåëü, H
2
– ïåðâîå îðóäèå íå ïîïàëî
â öåëü. Âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé ðàâíû
p(H
1
) = 0,4, p(H
2
) = 1 – 0,4 = 0,6.
Ñîáûòèå À íàñòóïàåò òîãäà, êîãäà äâà ñíàðÿäà ïîïàäàåò â
öåëü. Ïîýòîìó óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè,
÷òî ñîáûòèå H
1
ïðîèçîøëî (ïåðâîå îðóäèå ïîïàëî â öåëü) áóäåò
ñóììîé äâóõ ñëàãàåìûõ
1
()0,3(10,5)(10,3)0,5 0,5.
H
pA
=⋅− +− ⋅=

Страницы