Теория вероятностей. Бестугин А.Р - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

29
5. ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß
ÏÎ ÒÅÌÅ ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÂÅËÈ×ÈÍÛ
5.1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïîä ñëó÷àéíîé ïîíèìàåòñÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â ðÿäå ïîâòîð-
íûõ îïûòîâ ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ è â êàæäîì
îñóùåñòâëåíèè îïûòà ïðèíèìàåò îäíî è òîëüêî îäíî çíà÷åíèå,
çàðàíåå íåèçâåñòíî êàêîå (çàâèñÿùåå îò ñëó÷àéíîãî èñõîäà
îïûòà).
Òàêîé îïòèìàëüíîé õàðàêòåðèñòèêå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñî-
îòâåòñòâóåò ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ξ íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëü-
íàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ
(), ξ=ξω ω∈Ω
, îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå
Ω ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, äëÿ êîòîðîé
îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòü
(){: ()}pBp Bξ∈ = ω ξω ∈
ïðèíàäëåæíîñòè ξ
êàæäîìó èç çàäàííûõ ìíîæåñòâ B ÷èñëîâîé îñè (B ∈ R
1
).
 êà÷åñòâå ìíîæåñòâ B îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ èíòåðâàëû
âèäà (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] è èõ îáúåäèíåíèÿ.
Âåðîÿòíîñòü p(ξ ∈B) ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà, åñëè èçâåñòíà
âåðîÿòíîñòü p(ξ < x) = p{ω: ξ(ω) < x}, B = (–∞; x).
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F
ξ
(x) ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü p(ξ < x), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê
ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé x (x∈R
1
)
() ( )Fx p x
ξ
=ξ<
(5.1)
(åñëè íå âîçíèêàåò íåäîðàçóìåíèé, òî ïèøóò
() ()Fx Fx
ξ
= ).
Ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:
() 0Fx
ξ
≥
– íåîòðèöàòåëüíîñòü.
21
() ()Fx Fx≥
ïðè
21
xx≥
, F(x) – íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ.
()0, ()1.FF−∞ = ∞ =
0, 0
lim ( ) ( )Fx Fx
ε> ε→
−ε =
– íåïðåðûâíà ñëåâà (â òî÷êàõ ðàçðûâà
íåïðåðûâíîñòè).
Åñëè x = x
k
– òî÷êà ðàçðûâà íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè F(x), òî
âåëè÷èíà ñêà÷êà ðàâíà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ {ξ = x
k
}
(0)()( ).
kkk
Fx Fx p x+− =ξ=
(5.2)
Åñëè â òî÷êå x = x
k
ôóíêöèÿ F(x) íåïðåðûâíà, òî
()0.
k
pxξ= =
(5.3)

Страницы