Составители:
Рубрика:
Глава 3. Динамические модели эволюции
95
0),,)(,...,)(),(( =cxxxF tdttddttdt
nn
. (3.9)
ОДУ вида
0),(
=
= cxFx dtd имеют наглядную геометрическую
интерпретацию. Они задают направление и величину скорости изменения
состояния объекта
dtdxv = в каждой точке конечномерного фазового
пространства (поле скоростей). В любой точке вектор
v
(если он
ненулевой) является касательным к фазовой траектории. Задание поля
скоростей обеспечивает однозначное предсказание фазовой траектории,
стартующей из любого начального состояния, т.е. описание всех
возможных движений в фазовом пространстве (рис.3.2,а).
Производные динамических переменных используются в уравнениях
нескольких видов, существенно отличающихся по свойствам решений и
методам их получения. На рис.3.3 они объединены широкой вертикальной
линией, как ветки – стволом дерева. Находящиеся вверху «ствола» ОДУ
описывают динамику сосредоточенных (конечномерных) систем, где не
требуется учитывать непрерывное распределение свойств объекта в
пространстве. ДУ в частных производных (ДУЧП), в которых в качестве
независимой переменной выступают и пространственные координаты,
расположены в самом низу схемы. Они наиболее универсальны, т.к.
описывают и бесконечномерные движения в распределенных системах. Но
решение ДУЧП требует значительно больших вычислительных ресурсов,
чем решение ОДУ. Кроме того, ДУЧП теряют наглядную геометрическую
интерпретацию, присущую ОДУ.
Алгебро-дифференциальные уравнения (АДУ) – это объединение
ОДУ и алгебраических уравнений:
,0),),(),((
,0),),(),(,)((
=
=
cyxG
cyxxF
ttt
tttdttd
(3.10)
где
x
– D-мерный вектор состояния,
y
– K-мерный вектор (не вносит
дополнительных степеней свободы в систему),
F
– вектор-функция
размерности D,
G
– вектор-функция размерности K. Второе уравнение –
алгебраическое и определяет (быть может, неявную) зависимость ()t
y
от
()t
x . Методы работы с такими уравнениями очень схожи со случаем ОДУ.
Уравнения с запаздывающим аргументом имеют, например, вид
0)),(,)(),((
=
−
cxxxF
τ
tdttdt . (3.11)
Отличие от ОДУ состоит в наличии в уравнении значений динамических
переменных не только для текущего, но и для прошлого момента времени.
ОДУ есть частный случай ДУЗ при нулевом времени запаздывания.
Интегро-дифференциальные уравнения ИДУ не относятся, строго
говоря, к классу ДУ. Они включают в себя не только производные, но и
интегралы от динамических переменных, например,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
