Составители:
Рубрика:
Глава 3. Динамические модели эволюции
99
Популярность тригонометрических функций во многом обусловлена
тем, что согласно теореме Вейерштрасса любую непрерывную
периодическую функцию
)(
t
x
можно сколь угодно точно приблизить
тригонометрическим многочленом
()
∑
=
+=
K
i
kk
Tkctx
0
2cos)(
φπ
, (3.15)
где K – порядок многочлена. Непериодическую функцию можно
приблизить с помощью такого многочлена на конечном отрезке.
Аналогичная теорема о возможностях приближения функций была
доказана Вейерштрассом и для алгебраического многочлена (3.14).
Алгебраический и тригонометрический многочлены широко используются
для приближенного описания зависимостей. Это предмет теории
аппроксимации (конструктивной теории функций), подробнее см. п.7.2.
Конкуренцию им составляют в последние годы искусственные нейронные
сети (пп. 3.8, 10.2.1.3), радиальные базисные функции (п. 10.2.1.2) и
вейвлеты. Последние получили очень широкое распространение на
практике и подробнее рассмотрены в п. 6.4.2.2. Здесь скажем только, что
это – хорошо локализованные функции с нулевым средним, например,
()
82
22
21)(
tt
eetx
−−
−=
.
К рассмотрению вопроса о других (не элементарных) функциях и
расширениях класса элементарных функций мы вернемся в п. 3.5.
3.4. Линейность и нелинейность
«Нелинейность всепроникающа и вездесуща,
многолика и неисчерпаемо многообразна. Она
повсюду: в большом и малом, в явлениях
быстротечных и длящихся эпохи… Нелинейность –
понятие емкое, с множеством оттенков и градаций.
Нелинейность эффекта или явления означает одно,
нелинейность теории –другое».
Ю.А. Данилов. «Нелинейность» [71]
3.4.1. Линейность и нелинейность функций и уравнений
На чувственном уровне слово «линейный» близко к
«прямолинейный», ассоциируется с прямой линией, с пропорциональным
изменением причины и следствия, неизменным курсом, графиком в виде
прямой, как на рис.3.4,а. Однако, в соответствии с терминологией,
принятой в математике и нелинейной динамике, линейными являются все
рассмотренные в предыдущем параграфе динамические системы, хотя
графики их решений – отнюдь не прямые линии (рис.3.4,б-г). Линейны
операторы эволюции этих динамических систем – дифференциальные или
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
