Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
100
разностные уравнения и отображения последования, но не их решения – не
функции времени, описывающие временные реализации.
Что же общего во всех представленных в п. 3.3 уравнениях эволюции?
Все они подчиняются принципу суперпозиции. Если функции независимых
переменных )(
1
tx и )(
2
tx являются решениями уравнения, то и их
линейная комбинация )()(
21
tbxtax
+
– это тоже решение, т.е. будучи
подставлена в уравнение вместо
)(
t
x
, она превращает его в тождество. В
правых и левых частях линейных ДУ могут стоять только первые степени
динамической переменной и ее производных: x,
dtdx , …,
nn
dtxd . Но там
не должно быть их более высоких степеней и произведений.
Соответственно, в линейных разностных уравнениях могут стоять только
первые степени конечных разностей или значений динамической
переменной в дискретные моменты времени. Уравнения любых видов
линейны, если отображения, определенные на множестве значений
динамических переменных, стоящие слева и справа от знака равенства,
линейны. Нарушение этого правила означает нелинейность уравнения.
Например, линейны уравнения (3.2), (3.4)-(3.6), (3.13). Нелинейно
уравнение (2.1). Заметим, что линейные неавтономные (с явной
зависимостью от времени) уравнения могут включать в себя нелинейные
функции независимой переменной (времени). Например, неавтономный
линейный осциллятор
tAxdtdxdtxd
ωωδ
cos2
2
0
22
=++
.
Линейная функция «ведет себя» очень просто – монотонно убывает
или возрастает с изменением аргумента или является постоянной. Но
линейность динамических систем не означает, что демонстрируемые ими
движения обязательно примитивны. Это видно даже из нескольких
приведенных на рис.3.4 примеров. Учитывая выполнение принципа
суперпозиции, для многомерных линейных уравнений с помощью
комбинаций степенных, экспоненциальных и тригонометрических
функций, являющихся их решениями, можно подобрать решение в виде
очень сложной зависимости от времени, на конечном интервале
неотличимой внешне от беспорядочной, хаотической. Но линейные
системы «не могут позволить себе» многого: изменения формы колебаний,
требующего появления новых гармоник, динамического хаоса
(беспорядочных решений с экспоненциальной чувствительностью к малым
возмущениям), мультистабильности (наличия нескольких вариантов
установившихся движений), и т.д.
Системы, процессы, эффекты, явления классифицируют как
линейные или нелинейные, в зависимости от того, описываются ли они
адекватно линейными уравнениями или необходимо использовать
уравнения нелинейные. Мир нелинейных операторов несравненно богаче,
чем линейных: нелинейных динамических систем и видов их поведения
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
