Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
102
Так, если бы коэффициент размножения k в популяции был
постоянным и не зависел от численности
n
x особей (n – дискретное
время), то в соответствии с линейным законом эволюции
nn
kxx
=
+1
(3.16)
при
1>
k
с течением времени наблюдался бы ее неограниченный рост. В
этом случае было бы неизбежно перенаселение, а при
1<
k
, наоборот,
грозило бы полное исчезновение популяции. Более реалистична
зависимость параметра k от переменной
n
x , например, )1(
n
xrk −= ,
ведущая к нелинейности оператора эволюции: )1(
1 nnn
xrxx −=
+
.
Нетривиальные, включая хаотические, свойства этой эталонной
одномерной динамической системы – логистического отображения –
хорошо известны, см. п. 3.6.2.
3.4.3. Иллюстрация на маятниках
Признанными эталонными объектами для иллюстрации линейных и
нелинейных колебательных феноменов являются различные маятники –
системы, совершающие колебания около положения устойчивого
равновесия. Их простейшие механические представители: массивный груз,
подвешенный на нити или стержне (рис.3.5,а), груз на пружине (рис.3.5,в),
шарик, катающийся в ямке, бутылка, плавающая на воде, жидкость в U–
образной трубке и множество других. Электрическим маятником называют
цепь, состоящую из конденсатора и катушки индуктивности
(колебательный контур, рис.3.5,б). Говорят и о химическом маятнике –
смеси химикатов, вступающих в колебательную реакцию, экологическом –
двух взаимодействующих популяциях хищников и жертв [163].
Предоставленный самому себе (собственные движения) реальный
маятник оказывается, в конце концов, в состоянии устойчивого равновесия
(рис.3.5). В зависимости от начальных значений динамических
переменных (отклонения от положения устойчивого равновесия
x
и
скорости его изменения
dtdx ) и свойств объекта этому предшествуют
различные варианты движений. На рис.3.5 выделены две области, в
которых движения качественно различны: левая, заштрихованная,
соответствует относительно большим x, при которых существенна
нелинейность, а правая – малым, «линейным». Временные реализации
малых колебаний идентичны для всех рассматриваемых маятников:
колебания изохронны (квазипериод
1
T не зависит от текущего состояния) и
близки к затухающей синусоиде – решению линейного уравнения (3.2),
описывающего малые колебания всех рассматриваемых систем. Последнее
обстоятельство является законным основанием для того, чтобы называть
эти колебания линейными. Монотонное затухание колебаний
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
