Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
104
уменьшается при увеличении их размаха. По аналогии нелинейность
любого осциллятора, приводящую к уменьшению (увеличению) периода с
ростом амплитуды колебаний, стали называть нелинейностью типа
жесткой (мягкой) пружины.
3.5. Модели – обыкновенные дифференциальные уравнения
3.5.1. Виды решений
Появление обыкновенных дифференциальных уравнений и их
история связаны с именами Ньютона и Лейбница (XVII-XVIII вв.).
Впоследствии в рамках аналитической механики и теории
дифференциальных уравнений развивались общие процедуры для
получения модельных уравнений и разрабатывались методы их решения.
3.5.1.1. Элементарные решения.
Решение дифференциального
уравнения в виде элементарной функции называют элементарным
решением. Ограничимся для иллюстрации примерами из п.3.3. Во всех
примерах функции-решения дают исчерпывающую информацию о
динамике модели. Интересно, что в ньютоновские времена понять
поведение динамической системы означало именно записать формулу
решения
)(
t
F
x
=
. Этот подход получил даже название ньютоновской (или
лапласовской) парадигмы [291]. Речь шла о конечном (предпочтительно,
коротком) выражении, составленном из радикалов (корней n-ой степени),
дробно-рациональных, показательных, логарифмических и
тригонометрических функций. Все решения, рассмотренные в п. 3.3,
имеют такую форму.
Заметим только, что класс элементарных функций (и элементарных
решений) часто расширяют, добавляя в него алгебраические функции –
решения алгебраических уравнений
0)()()(...)()()()(
01
1
1
=++++
−
−
tatxtatxtatxta
n
n
n
n
, (3.17)
где n – целое, )(ta
i
– алгебраические многочлены. Все дробно-
рациональные функции и радикалы являются алгебраическими
функциями. Обратное – неверно. Например, существуют алгебраические
функции, которые неявно задаются уравнением (3.17).
3.5.1.2. Решения в замкнутой форме.
Далеко не все уравнения имеют
элементарные решения. Существуют элементарные функции, интегралы с
переменным верхним пределом от которых не являются элементарными
функциями. Один из самых простых примеров – эллиптический интеграл
∫
+
t
d
0
4
1
τ
τ
. Интеграл существует, но это не элементарная функция. Он
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
