Составители:
Рубрика:
Глава 3. Динамические модели эволюции
105
является решением простого ДУ
4
1
1
t
dt
dx
+
=
. Однако, даже если интеграл
от элементарной функции и не является элементарной функцией, с ним
можно эффективно работать – его значения можно вычислить
приближенно с помощью известных численных методик.
Выражение решения в виде формул, содержащих интегралы от
элементарных функций, называется интегрированием в квадратурах и
также считается полным решением уравнения. Так, решение уравнения
0
2
=+ xedtdx
t
(3.18)
при
0
)0( xx =
имеет вид
∫
−=
t
dextx
0
0
2
exp)(
τ
τ
. Результат называют
решением в замкнутой форме. Элементарное решение – его частный
случай.
Уже Лиувилль показал, что некоторые ДУ не имеют решений в
замкнутой форме. Например, очень простое внешне уравнение
txdtdx =+
2
(3.19)
не решается в квадратурах. Решение существует, но не может быть
выражено в замкнутой форме. Общей процедуры для нахождения решения
в замкнутой форме нет, хотя разработано очень много частных методов.
Получить решение в замкнутой форме зачастую очень трудно или вовсе
невозможно.
3.5.1.3. Аналитические решения.
Когда решение в замкнутой форме
отсутствует, можно сделать следующий шаг на пути усложнения методики
и пытаться найти решение в виде бесконечного степенного ряда.
Например, будем искать решение уравнения
022
22
=−− xdtdxtdtxd (3.20)
в виде
∑
∞
=
=+++=
0
2
210
...)(
i
i
i
tatataatx . (3.21)
Подставим эту формулу в исходное уравнение и сгруппируем члены с
одинаковыми степенями при t. Приравняем нулю отдельно каждое
слагаемое. В итоге получим рекурсивное соотношение между
коэффициентами:
22
2
+
=
+
naa
nn
. Коэффициенты
0
a и
1
a определяются
начальными условиями. Так, для
1
0
=
a и 0
1
=
a получим
...!3!21)(
642
++++= ttttx . (3.22)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
