Составители:
Рубрика:
Глава 3. Динамические модели эволюции
107
выводятся конкретные модели (хотя термин «первые принципы» в таком
употреблении критикуется с позиций философии). Это – законы
сохранения, уравнения непрерывности, законы Ньютона в механике,
уравнения Навье – Стокса в гидродинамике, уравнения Максвелла в
электродинамике, производные от них более частные правила типа
уравнений Кирхгофа в теории электрических цепей, и т.д. Массу
нестандартных примеров асимптотического моделирования практически
важных физических и биологических объектов можно найти, например, в
учебнике известного математика, специалиста по моделированию Ю.И.
Неймарка [127].
Эмпирический подход к получению модельных ДУ (реконструкция по
временным рядам) рассматривается во второй части книги.
Моделирование по пути «от простого к сложному» – создание ансамблей –
типично при использовании аппарата ДУ. Оно широко используется для
описания пространственно развитых систем и позволяет охватить тем
более широкий класс явлений, чем больше элементов включено в
ансамбль. Классическими примерами могут служить ансамбли связанных
осцилляторов – проверенный путь последовательного усложнения
рассматриваемых явлений в учебниках по теории колебаний.
3.5.2. Популярный класс модельных уравнений – осцилляторы
Выбирая показательный пример описательных возможностей моделей
с оператором эволюции, заданным дифференциальными уравнениями, мы
вновь остановились на классе осцилляторов. Почему столь однообразен
выбор из «моря» моделей? Дело в том, что сколько бы различных
примеров объектов или классов систем мы ни рассматривали, это не
охватит всего специфического, что могут демонстрировать ДУ. Все равно
представленное будет лишь фрагментом общей картины, но действительно
общее будет присутствовать и в нем. Поэтому из методических
соображений есть смысл обратиться к примеру, предыстория и базовая
информация о котором имеется у широкой аудитории (первое знакомство с
ним у многих состоялось на школьных уроках физики).
Осцилляторами называют и объекты, способные совершать
колебания около положения равновесия (осцилляции) и уравнения,
моделирующие их движения. Движение осциллятора происходит в
некоторой потенциальной яме при наличии трения или без него.
Эталонным уравнением осциллятора является ДУ второго порядка:
)()(),(
22
tFxfdtdxdtdxxdtxd =++
γ
, (3.23)
где второе слагаемое в левой части связано с диссипацией (силами трения),
третье – с потенциалом U(x) и потенциальной силой
)(xfxU −=∂
∂
−
, а
правая часть представляет собой внешнюю силу. Исследованию различных
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
