Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
106
Можно заметить, что в этом частном случае мы получили в ответе ряд
Тейлора для функции
2
)(
t
etx = . Если полученный степенной ряд сходится,
что бывает не всегда, и найдена формула для коэффициентов, то такое
решение называется аналитическим решением или решением в виде ряда.
Оно считается «лучшим» после решений в замкнутой форме. Но если
построенный ряд сходится медленно, то его практическое использование
не реально. В частности, такая ситуация имеет место в знаменитой задаче
трех тел, которая имеет практически бесполезное аналитическое решение в
виде очень медленно сходящегося ряда [336].
3.5.1.4. Численные решения.
Обратите внимание, что предметом
забот в только что рассмотренных разделах были сравнительно простые
уравнения с явной зависимостью от времени и элементарной
нелинейностью. В общем случае, когда задача не сводится к линейной или
некоторому избранному классу уравнений, решение ищут приближенно
численными методами (при заданных начальных и граничных условиях).
Первым и наиболее простым методом решения ДУ был метод Эйлера, на
идею которого так или иначе опираются все более точные и сложные
современные методы. Очень популярны методы Рунге – Кутты. Из других
следует упомянуть методы Адамса и Булирша – Штоера, имеющие свои
преимущества и недостатки, но чаще превосходящие методы Рунге –
Кутты по скорости работы и точности решения [289, 85, 153].
Согласно упомянутой ньютоновской парадигме численное решение
было вовсе не удовлетворительно, поскольку оно не позволяло понять
качественные черты динамики, и могло быть полезно только для целей
прогноза поведения системы. Этот взгляд изменился с появлением
мощных компьютеров и богатых средств компьютерной графики, которые
позволяют нам сегодня составить как качественное представление о
поведении модели, так и вычислить достаточно точно приближенное
решение. Поскольку численно можно исследовать эффективно очень
широкий класс нелинейных уравнений, то в настоящее время все большее
внимание исследователей уделяется вопросами получения модельных ДУ.
Возможно использование любого из четырех путей, упомянутых в
п. 1.5. В связи с тем, что большинство известных в физике законов
природы имеют форму ДУ, да и сам аппарат ДУ был создан для описания
фундаментальных закономерностей механики, наиболее популярным
методом их получения можно считать путь от общего к частному.
Большинство моделей, рассматриваемых физиками, – асимптотические,
полученные через ограничения, вводимые в универсальные формулировки
с учетом специфики задачи. Иногда говорят, что модель получают «из
первых принципов», имея в виду под первыми принципами некоторые
общие соотношения для рассматриваемой области явлений, из которых
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
