Составители:
Рубрика:
Глава 3. Динамические модели эволюции
111
К этой форме можно привести любую систему ОДУ, разрешенную
относительно старших производных, даже если она содержит явную
зависимость от времени. Систему (3.26) путем замены переменных (быть
может, за счет увеличения размерности) можно привести к виду
),,...,,(
...,
,
,
21
32
21
DD
yyyFdtdy
ydtdy
ydtdy
=
=
=
(3.27)
где
1
y – произвольная гладкая функция вектора x: ),...,,(
211 n
xxxhy = ,
например,
11
xy =
. Форма (3.27) иногда называется стандартной [232, 233]
и широко используется при эмпирическом моделировании с
восстановлением вектора состояния по скалярной наблюдаемой методом
последовательного дифференцирования (п. 10.2.2). Но не всегда можно
получить функцию F в (3.27) в явном виде. Возможность приведения
любой системы ОДУ к форме (3.27) доказана голландским математиком
Флорисом Такенсом. Условия теорем и некоторые комментарии
представлены в п. 10.1.1.
Проиллюстрируем сведение к этим формам на примере уравнения
диссипативного осциллятора под силовым гармоническим воздействием
)cos()(
22
tAxfdtdxdtxd
ωγ
=++
. (3.28)
Уравнение (3.28) с const=
γ
можно представить в виде двухмерной
неавтономной системы
),cos()(
,
122
21
tAxfxx
xx
ωγ
+−−=
=
&
&
(3.29)
где xx =
1
, или трехмерной автономной системы
,
,cos)(
,
3
310202
21
ω
γ
=
⋅+−−=
=
x
xAxfxx
xx
&
&
&
(3.30)
где xx =
1
, tx
ω
=
3
, или четырехмерной «стандартной» системы
),(
)()(
,
,
,
1
2
2
22
2
2
1
1
2
3
1
1
404
43
32
21
xfxx
dx
xfd
x
dx
xdf
xx
xx
xx
xx
ωγωωγ
+−+
−+−=
=
=
=
&
&
&
&
(3.31)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
