Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4. Стохастические модели эволюции
141
[][]
∫
∞
∞−
−=−= dxtxptmxtmtMt ),()()(),()(
22
2
ωξσ
ξ
. (4.2)
Это детерминированные (неслучайные) функции времени, поскольку
зависимость от случайных событий исключена при усреднении.
Сечения
),(
ω
ξ
t
в различные моменты времени
1
t
и
2
t
имеют, вообще
говоря, разные функции плотности распределения
),(
1
txp
и
),(
2
txp
, см.
рис.4.1. Совместное поведение сечений описывается двухмерной
плотностью распределения
),,,(
22112
txtxp
. Таким же образом можно
задать n-мерные законы распределения
n
p
для всевозможных наборов
1
t
,
2
t
, …,
n
t
. Они образуют совокупность конечномерных распределений
случайного процесса
),(
ω
ξ
t
. Вероятностные свойства процесса полностью
определены, только если задана вся эта совокупность. Однако, поскольку
она представляет собой бесконечное множество законов распределения, то
в общем случае полностью описать случайный процесс практически
невозможно.
Реально приходится ограничиваться использованием только
некоторых характеристик, например, одно- и двухмерных распределений,
моментов невысоких порядков – математического ожидания, дисперсии,
автоковариационной функции – и т.д. Так, автоковариационная функция в
общем случае зависит от двух аргументов:
()
(
)
()( )
.),,,()()(
)(),()(),(),(
21221122211
221121
∫∫
−−=
=
−
−
=
dxdxtxtxptmxtmx
tmttmtMttK
ω
ξ
ω
ξ
(4.3)
Для фиксированных
1
t
и
2
t
выражение (4.3) определяет ковариацию
случайных величин
),(
1
ω
ξ
t
и
),(
2
ω
ξ
t
. Если нормировать ее на
среднеквадратичные отклонения, получим автокорреляционную функцию
(
)
)()(),(),(
212121
ttttKtt
ξξ
σ
σ
ρ
=
, т.е. коэффициент корреляции между
случайными величинами
),(
1
ω
ξ
t
и
),(
2
ω
ξ
t
.
1
Автокорреляционная функция
принимает значения в интервале от –1 до 1;
1),(
21
=
tt
ρ
соответствует
детерминированной линейной зависимости
),(),(
21
ω
ξ
ω
ξ
tconstt
=
.
Для характеристики процессов часто используются условные
одномерные распределения
),|,(
111
txtxp
, т.е. распределения сечения
)(
t
ξ
,
при условии, что в момент времени
1
t
величина
ξ
приняла значение
11
)( xt =
ξ
. Функцию
),|,(
111
txtxp
называют плотностью вероятностей
1
Есть и другая терминология, согласно которой (4.3) называется автокорреляционной функцией, а после
нормировки – нормированной автокорреляционной функцией [172]. Мы ее не используем.

Страницы