Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
142
перехода из состояния
1
x
(в момент времени
1
t
) в состояние x (в момент
времени
t).
4.1.3. Стационарность и эргодичность случайных процессов
Важным свойством процесса является его стационарность (или
нестационарность).
Стационарным в узком смысле называют такой
процесс, все конечномерные распределения которого не меняются при
сдвиге по времени, т.е.
τ
,,...,,
1 n
ttn∀
),,...,,(),,...,,(
1111
τ
τ
+
+
=
nnnnnn
txtxptxtxp
. Другими словами, при сдвиге
по времени не меняется ни одна из характеристик процесса.
Стационарным в широком смысле называют такой случайный процесс,
для которого при сдвиге по времени не меняются математическое
ожидание, дисперсия и корреляционная функция (т.е. моменты до второго
порядка включительно). Для стационарных (как в узком, так и в широком
смысле) процессов имеет место
cons
t
t
m
=
)(
,
constt =)(
2
ξ
σ
,
1221
),(),( ttkttK −==
τ
τ
Из стационарности в узком смысле следует
стационарность в широком смысле.
2
Вообще говоря, термин «стационарность» означает неизменность
какого-то свойства во времени. Если интересующее нас свойство
(например, момент одномерного распределения порядка n) не меняется, то
процесс называют стационарным относительно этого свойства.
Эргодическим называют процесс, все характеристики которого могут
быть получены по одной его реализации (бесконечно длинной). Например,
математическое ожидание определится как
∫
∞→
=
T
T
dtt
T
m
0
1
),(
1
lim
ωξ
для почти
любого
1
ω
, т.е. усреднение по времени и усреднение по пространству дают
одинаковые результаты. Если по одной реализации можно получить все
характеристики процесса, то его называют эргодическим в строгом
смысле. Если можно получить только некоторые характеристики, то его
называют эргодическим относительно этих характеристик: вводят понятия
эргодичности первого порядка – относительно первых моментов, и т.п.
Эргодические процессы представляют собой важный класс, поскольку
на практике зачастую имеется только одна реализация, а не большой
ансамбль. По этой единственной реализации только для эргодического
процесса можно восстановить его свойства. Поэтому часто при анализе
отдельного временного ряда принимают гипотезу об эргодичности
2
Есть и несколько иная трактовка, связанная с дополнительным требованием конечной дисперсии для
стационарного в широком смысле процесса, при этом такое следование не будет иметь места.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- …
- следующая ›
- последняя »
