Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Часть I. Модели и прогноз
144
4.2. Базовые модели случайных процессов
Случайный процесс можно задать, определив явно конечномерные
законы распределения вероятностей. Так вводятся базовые (самые
простые) модели теории случайных процессов. Рассмотрим некоторые из
них [55].
1) Одним из важнейших в теории случайных процессов является
нормальный (гауссовский) случайный процесс. Это процесс, для которого
все конечномерные законы распределения являются нормальными. А
именно,
n
-мерный закон распределения процесса имеет вид:
()
−⋅⋅−−=
−
)()(
2
1
exp
2
1
),,...,,(
1
11 nnn
T
nn
n
n
nnn
txtxp mxVmx
V
π
(4.4)
для любого n, где введены обозначения:
=
=
=
),(...),(),(
............
),(...),(),(
),(...),(),(
,
)(
...
)(
)(
,
...
21
22212
12111
2
1
2
1
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
ttKttKttK
ttKttKttK
ttKttKttK
tm
tm
tm
x
x
x
Vmx
, (4.5)
)(
t
m
– математическое ожидание процесса,
),(
21
ttK
– автокорреляционная
функция, T означает транспонирование,
n
V
– определитель матрицы
n
V
.
В данном примере все конечномерные распределения известны (процесс
определен полностью), если заданы математическое ожидание и
корреляционная функция. При любых линейных преобразованиях
нормального процесса он остается нормальным.
2) Процесс с независимыми приращениями. Так называется процесс,
для которого величины
),(
1
ω
ξ
t
,
),(),(
12
ω
ξ
ω
ξ
tt
−
, …, ),(),(
1
ω
ξ
ω
ξ
−
−
nn
tt
(т.е. приращения) являются статистически независимыми для любых n,
n
tt ,...,
1
, таких, что n >1 и
n
ttt
<
<
<
...
21
.
3) Винеровский процесс. Это N-мерный случайный процесс с
независимыми приращениями, для которого при любых
21
tt <
случайный
вектор
),(),(
12
ω
ω
tt ξξ −
распределен по нормальному закону с нулевым
математическим ожиданием и ковариационной матрицей вида
n
Istt
2
12
)( − , где
n
I – единичная матрица порядка n. Это нестационарный
процесс, в одномерном случае его дисперсия растет линейно во времени
как
)()()(
0
2
0
22
ttstt −⋅+=
σσ
.
Винеровский процесс описывает, например, броуновское движение –
перемещение броуновской частицы под действием случайных
независимых соударений с молекулами окружающей среды.

Страницы