Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4. Стохастические модели эволюции
145
Можно показать, что винеровский процесс является нормальным
процессом. Винеровский процесс с
1
=
s
называется стандартным.
4) Марковский процесс (первого порядка) – это случайный процесс,
для которого условная функция плотности вероятностей имеет вид:
),|,(),,...,,|,(
11111111 −−−−
=
nnnnnnnn
txtxptxtxtxp , для любых
n
ttn ,...,,
1
,
n
ttt <<< ...
21
. Это выражают фразой «будущее зависит от прошлого
только через настоящее». Любой конечномерный закон распределения
такого процесса выражается через его одномерный и двухмерный законы.
Можно показать, что винеровский процесс является марковским.
Важным частным случаем является марковский процесс с конечным
числом K возможных состояний. Обозначим их
K
SS ,...,
1
. Из-за
дискретности состояний, он описывается в терминах самих вероятностей, а
не плотностей их распределения. Условная вероятность
})(|)({P
ij
StStt ==∆+
ξ
ξ
называется в этом случае переходной
вероятностью, поскольку описывает переход из состояния i в состояние j.
А величина
tStSttt
ij
t
ji
∆
=
=
∆
+
=
+→∆
})(|)({Plim)(
0
,
ξ
ξ
λ
называется
плотностью вероятности соответствующего перехода.
Марковские процессы занимают особое место в теории случайных
процессов, им посвящено множество исследований.
5) Пуассоновским процессом с параметром
λ
> 0 называют скалярный
случайный процесс с дискретными состояниями, обладающий
следующими свойствами: а)
0),0(
=
ξ
; б) приращения процесса
независимы; в) при любых
21
0 tt
<
≤
величина
),(),(
12
ω
ξ
ω
ξ
tt −
распределена по закону Пуассона с параметром
)(
12
tt
−
λ
, т.е. по закону
{}
))(exp(
!
)(
),(),(P
12
12
12
tt
k
tt
ktt
k
−−
−
==−
λ
λ
ωξωξ
, где k – целое
неотрицательное число. Пуассоновский процесс часто используют в
приложениях, например, в теории массового обслуживания.
6) Белый шум. Это стационарный в широком смысле (согласно одной
из трактовок, см. п.4.1.3) случайный процесс, значения которого в
различные моменты времени некоррелированы, т.е. его
автоковариационная функция имеет вид:
)()(
τ
δ
τ
⋅
=
const
k
. Его называют
«белым», потому что спектр мощности этого процесса представляет собой
константу, т.е. в нем равноправно представлены все частоты. Здесь
проведена аналогия с белым светом, в котором представлены все частоты
(все «цвета») видимой части спектра. Дисперсия белого шума бесконечна:
∞== )0(
2
k
ξ
σ
.
Распространенной моделью является нормальный белый шум (НБШ).
Это стационарный процесс, имеющий нормальный одномерный закон

Страницы