Составители:
Рубрика:
Глава 4. Стохастические модели эволюции
147
оно сходится к какому-либо стационарному и каково будет это предельное
распределение? В определении марковского процесса это непосредственно
не сформулировано. Однако, опираясь на это определение, можно вывести
уравнения эволюции для закона распределения вероятностей. Для
процесса с конечным числом состояний они запишутся в виде системы
обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова):
⋅
++−
+++−
++−
=
−
K
KKKKK
KK
KK
K
p
p
p
dtdp
dtdp
dtdp
...
)...(...
............
...)...(
...)...(
...
2
1
1,1121
22232112
1,21112
2
1
λλλλ
λλλλλ
λλλλ
, (4.6)
где )(tp
i
– вероятность состояния
i
S , а
)(
,
t
ji
λ
– плотности вероятностей
перехода. Если функции
)(
,
t
ji
λ
заданы, то, интегрируя уравнения
Колмогорова, можно проследить за эволюцией распределения
вероятностей из любого начального распределения. В простых частных
случаях, например, при постоянных
ji,
λ
, решение можно найти
аналитически.
В случае цепей Маркова задача несколько упрощается (по крайней
мере, для численного исследования) – эволюция вектора вероятностей
описывается разностным уравнением порядка K. Для наглядного
представления марковских процессов с дискретными состояниями часто
используют графы, на которых кружками указывают различные состояния,
а стрелками – возможные переходы между состояниями.
В случае непрерывнозначных марковских процессов состояние нужно
описывать уже не вектором вероятностей, а функцией плотности
распределения вероятностей. Поэтому вместо обыкновенных
дифференциальных уравнений (4.6) для описания эволюции закона
распределения вероятностей получают уравнения в частных производных.
Это обобщенное уравнение Маркова (другие названия – уравнение
Колмогорова – Чепмена, прямое уравнение Колмогорова) для условной
плотности распределения:
(
)
[]
),|,(),(
!
1
),|,(
00
1
00
txtxptxc
x
kt
txtxp
k
k
k
k
k
∑
∞
=
∂
∂−
=
∂
∂
, (4.7)
где величины
∫
∞
∞−
→∆
′
∆+
′
−
′
∆
= xdtxttxpxx
t
txc
k
t
k
),|,()(
1
lim),(
0
– это
коэффициенты, связанные с «вероятностями изменения» состояния x и
определяющие «гладкость» реализаций процесса.
В важном частном случае диффузионного марковского процесса
(0=
k
c при любом 2>
k
) уравнение упрощается и приводится к виду:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- …
- следующая ›
- последняя »
