Составители:
Рубрика:
Часть II. Моделирование по временным рядам
160
погрешностями, и если при небольшом изменении входных данных резко
меняется ответ задачи, то мы не можем быть уверены в его надежности, да
и вообще полезность полученного ответа оказывается под сомнением. Это
условие и требует, чтобы ответ менялся мало при малом изменении
входных данных.
Если хотя бы одно из трех условий нарушается, то задача называется
некорректной
(по Адамару). Конечно, всегда следует стремиться
корректно ставить задачи, поэтому долгое время некорректные задачи
вовсе находились вне интересов математиков [160]. Считалось, например,
что они не имеют «физического смысла», обязательно должны быть
переформулированы, и т.п. Но с течением времени такие задачи все чаще и
чаще возникали в различных областях практики. Поэтому начали
развиваться специальные подходы к их решению, такие как регуляризация
и построение квази-решений.
По мере изложения материала мы нередко будем обсуждать
корректность возникающих задач. Некорректность постановки – не
«окончательный приговор», это еще не значит, что «все плохо». Так,
некорректной является даже задача дифференцирования, но
дифференцирование широко используется.
6
Хотя, конечно,
предпочтительнее было бы иметь дело с корректными постановками, для
практических целей может оказаться вполне приемлемой модель,
полученная и при некорректной постановке задачи. Например, это
возможно в том случае, когда некорректность состоит в существовании
множества решений, но удается выбрать одно решение (или даже
6
Значительные трудности численной оценки производных по временному ряду
(п. 7.4.2) имеют не технический характер. Они связаны с некорректностью задачи
дифференцирования [160]. Поясним это на конкретном примере. Пусть задана
непрерывно дифференцируемая функция
)(
0
tx
, обозначим
)()(
00
tydttdx =
. Пусть
теперь )(
0
tx задана с некоторой погрешностью, т.е. входные данные представляют
собой функцию )()()(
0
ttxtx
ξ
+= , где добавка )(t
ξ
непрерывно дифференцируема и
очень мала:
δξ
≤)(t
. Входные данные
)(tx
очень близки к
)(
0
tx
в смысле метрики
∞
L
. Производная «зашумленной» функции
)(tx
есть
dttdtydttdx )()()(
0
ξ
+
=
. Ее
отклонение
ε
от )(
0
ty в той же метрике может быть сколь угодно велико. Пусть,
например, )sin()( tt
ω
δ
ξ
= , тогда )cos()()(
0
ttydttdx
ω
ωδ
+
=
. При этом
ωδ
ε
= может
быть сколь угодно большим для сколь угодно малого
δ
, если
ω
велико. Т.е.
погрешность дифференцирования может быть сколь угодно велика при сколь угодно
малой «интенсивности быстро осциллирующего шума )(t
ξ
».
Здесь важно, как понимается близость в пространстве входных данных и в
пространстве решений. Так, если считать близкими только такие входные данные, для
разности которых )(t
ξ
выполняется одновременно
δξ
≤)(t и
δξ
≤dttd )( (т.е. )(t
ξ
–
медленно меняющаяся функция), то задача дифференцирования корректна.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- …
- следующая ›
- последняя »
