Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Часть II. Моделирование по временным рядам
180
показать, что исходный сигнал
{
}
N
i
i
t
1
)(
=
η
может быть однозначно
представлен во все моменты наблюдений в виде суммы
Nitkbtkaat
N
k
ik
N
k
iki
,...,1,)sin()cos()(
12
1
2
1
0
=++=
∑∑
−
==
ωωη
. (6.1)
где основная частота есть
tNab ∆
=
−
=
π
π
ω
22
. Коэффициенты
тригонометрического многочлена (6.1) находятся по простым формулам
∑
=
=
N
i
i
N
a
1
0
1
η
,
∑
=
−=
N
i
i
i
N
N
a
1
2
)1(
1
η
, (6.2)
∑
=
=
N
i
iik
tk
N
a
1
)cos(
2
ωη
, 12,...,1
−
=
Nk , (6.3)
∑
=
=
N
i
iik
tk
N
b
1
)sin(
2
ωη
, 12,...,1
−
=
Nk . (6.4)
Формулы (6.2)-(6.4), переводящие значения
i
η
в коэффициенты
k
a и
k
b ,
называются прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Формула
(6.1), обеспечивающая расчет
i
η
по
k
a и
k
b , называется обратным ДПФ.
Опираясь на эти преобразования, можно построить приближенное
описание исходного сигнала (аппроксимацию) или провести его
сглаживание. Например, высокие частоты (соответствующие большим k)
часто отвечают помехам и шумам и от них желательно избавиться. Этого
можно достичь в простейшем варианте, приравняв нулю соответствующие
коэффициенты
k
a и
k
b . Выполнив теперь обратное преобразование Фурье
(6.1), получим более плавно меняющийся («более гладкий») сигнал. Это –
вариант фильтра низких частот. Аналогично можно реализовать фильтр
высоких частот (обнулив коэффициенты, соответствующие малым k) или
полосовой фильтр (сохранив ненулевыми только коэффициенты из
некоторой полосы частот). Мы упомянули далеко не самые эффективные
варианты цифровых фильтров, подробнее см., например, [147].
С помощью тригонометрических многочленов часто можно получить
достаточно хорошую аппроксимацию непрерывной на отрезке функции
F(t). Причем можно использовать даже тригонометрические многочлены
очень высокого порядка, тогда как использование алгебраических
многочленов ведет к существенным трудностям в таком случае (см.
п.7.2.3). Если функция F(t) периодическая, то ее можно хорошо
приблизить тригонометрическим многочленом и на всей числовой оси.

Страницы