Составители:
Рубрика:
Глава 6. Ряды наблюдаемых – источник данных для моделирования
181
Подчеркнем, что тригонометрическая система особенно полезна и не
имеет «конкурентов» при аппроксимации периодических функций.
Физическая интерпретация – спектр мощности. Можно показать,
что средний квадрат наблюдаемой (он имеет смысл мощности, если
наблюдаемая – это напряжение на участке электрической цепи или сила
тока) равен сумме средних квадратов слагаемых в правой части (6.1).
Другими словами, мощность сигнала распределяется
по частотам
:
∑∑
==
=
2
01
2
1
N
k
k
N
i
i
S
N
η
, (6.5)
где
k
S есть мощность гармонической составляющей с частотой
ω
k
:
2)(
22
kkk
baS += при 21 Nk
<
≤ ,
2
kk
aS = при 2,0 Nk
=
. Физически,
наблюдаемый сигнал часто представляет собой суперпозицию сигналов от
нескольких источников. Если эти источники демонстрируют
гармонические колебания каждый со своей частотой, то в наблюдаемом
сигнале их интенсивность будет отражена величиной
k
S на
соответствующей частоте. Коэффициенты
k
S , помимо решения задачи
фильтрации сигнала, позволяют выявить присутствие и значимость
различных источников колебаний. Если каждую значимую частоту связать
с колебаниями одного гармонического осциллятора, то число таких
существенных частот равно числу степеней свободы, вовлеченных в
процесс. Поскольку полная мощность сигнала, согласно (6.5),
представляется в виде набора (спектра) нескольких составляющих, то этот
набор
k
S называют спектром мощности процесса )(
t
η
. Строго говоря, это
лишь оценка спектра мощности (см. ниже).
Понятие спектра мощности так легко вводится только для
детерминированной периодической функции
)(
t
η
с периодом
ω
π
2
,
поскольку она однозначно представляется в виде тригонометрического
ряда Фурье
∑
∞
=
++=
1
0
)]sin()cos([)(
k
kk
tkbtkaat
ωωη
, (6.6)
все коэффициенты которого в общем случае ненулевые и выражаются
через интегралы от исходной функции )(
t
η
.
Но и здесь следует учесть, что полученный с помощью ДПФ по
временному ряду конечный набор коэффициентов (6.1) является только
приближением для теоретического спектра. Если основная мощность
содержится только в низких частотах, то приближение достаточно точно.
Известно явление мимикрии (маскировки) частот, которое состоит в
следующем. В модель (6.1) входит максимальная частота tN
∆
=
π
ω
2 ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- …
- следующая ›
- последняя »
