Составители:
Рубрика:
Часть II. Моделирование по временным рядам
206
7.1.2. Сопоставление методов
Качество методов можно определять, опираясь на различные свойства
оценок. Будем делать это наиболее популярным способом, согласно
которому лучше всего оценка с наименьшим средним квадратом ошибки
2
0
]
ˆ
[ ccM − . Последний представляет собой сумму квадрата смещения
оценки и ее дисперсии, см. также (2.16) и (2.17) в п.2.2.1.4:
2
0
2
ˆ
2
0
]
ˆ
[]
ˆ
[ ccMccM
c
−+=−
σ
. (7.17)
7.1.2.1. Пример: линейные оценки.
Рассмотрим сначала простой
пример, в котором несколько разных оценок оказываются линейными по
i
η
(такие оценки параметров называют линейными) и несмещенными. Для
этого нужно, чтобы функция f была линейна по c, а помеха
ξ
и время t –
независимы. Этому условию удовлетворяет, например, исходный процесс
ξ
η
+
=
tс
0
, (7.18)
где случайная величина
ξ
распределена по нормальному закону с
дисперсией
2
ξ
σ
. Применим методы простого усреднения, статистических
моментов и МНК (совпадающий здесь с ММП) и сравним результаты.
Смысл метода простого усреднения здесь состоит в том, что через
каждую точку
ii
t
η
, и начало координат проводится прямая линия,
определяется ее угловой коэффициент
iii
tс
η
=
ˆ
, а затем находится
средний по всем полученным угловым коэффициентам (табл.7.1). Если
некоторые моменты наблюдений лежат около нуля, то отклонения
i
с
ˆ
от
0
с
для них могут быть очень велики (т.к. они равны
ii
t
ξ
), это может вести к
очень большому разбросу значений оценки. Она может даже не иметь
конечных среднего и дисперсии (табл. 7.1). Нетрудно показать, что если
среднее конечно, то оценка не смещена.
Геометрический смысл метода моментов – находятся выборочные
средние координаты
N
t
и
N
η
, через полученную среднюю точку
(«центр тяжести») облака экспериментальных точек и начало координат
проводится прямая, угловой коэффициент которой принимается за оценку
с
ˆ
. Если ее среднее конечно, то она также не смещена. Дисперсия такой
оценки меньше, чем для оценки простого усреднения (табл.7.1, рис.7.3).
Это отличие особенно сильно, если встречаются близкие к нулю значения
координаты
t.
Таблица 7.1.
Результаты оценки параметров в примере (7.18) различными методами. Дисперсии
оценок представлены для случайной величины
t. Для неслучайной величины t
достаточно заменить ее «математические ожидания» на выборочные средние
методы формулы для с
ˆ
Дисперсия
с
ˆ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- …
- следующая ›
- последняя »
