Составители:
Рубрика:
Глава 7. Восстановление функциональных временных зависимостей
209
оценок. При произвольном законе распределения помехи МНК (уже не
совпадающий с ММП) дает наилучшие оценки в более узком классе –
классе линейных и несмещенных оценок. Однако существуют нелинейные
оценки (смещенные), которые имеют меньшую погрешность (7.17), чем
оценки МНК [51].
7.1.3. Оптимальное оценивание
В простом примере, рассмотренном выше в п. 7.1.2.1, свойства оценок
не зависели от истинных значений параметров
0
с . В общем случае такая
зависимость имеет место: для одних значений
0
с
оценка может иметь
малую погрешность, а для других – большую. Желательно найти метод,
который дает наилучшие оценки для любого значения
0
с из множества его
возможных значений С. Однако такого
равномерно лучшего метода
оценивания не существует. Есть оценки, оптимальные в различных
смыслах, соответствующих предполагаемым способам использования
метода оценивания. Два популярных варианта – метод минимакса и
байесовский метод.
Принцип минимакса. Пусть неизвестно, при каких истинных
значениях
0
с из области
С
придется чаще использовать метод оценивания.
И пусть даже в одном-единственном случае большая ошибка крайне
нежелательна. Тогда нужен метод, имеющий минимальную погрешность в
самом худшем случае:
()
min
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
sup
0
2
0
0
→−
∫
∈
ccccc
Cc
dp
, (7.21)
где
)
ˆ
(
0
ccp – плотность распределения оценки при данном
0
с . Здесь
минимизируется погрешность оценки, соответствующая наименее
благоприятному для оценивания значению
0
с
. Если такое
0
с
вовсе не
встретится на практике, то метод, обеспечивающий (7.21), окажется
слишком «осторожен» и даст оценки, не самые точные из возможных.
Принцип Байеса. Как мы уже обсуждали в п. 2.2.1.9, истинные
значения параметров
0
с могут рассматриваться как случайные величины.
6
Поскольку при этом одни истинные значения
0
с встречаются чаще других,
то желателен такой метод, который давал бы минимальную среднюю по
всем
0
с погрешность оценки, т.е.
()
min
ˆ
)()
ˆ
(
ˆ
00
2
0
→−
∫
cccccc dpp . (7.22)
6
В п. 2.2.1.9 рассмотрено получение оценок через апостериорную плотность, но это не
единственная процедура, подпадающая под понятие байесовского подхода.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- …
- следующая ›
- последняя »
