Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 7. Восстановление функциональных временных зависимостей
225
Чаще всего в качестве точечного прогноза
)(
ˆ
t
η
для всех
рассмотренных в данной главе моделей принимают величину
)
ˆ
,()(
ˆ
c
t
f
t
=
η
.
Ошибка такого прогноза )(
t
e равна
)()],()
ˆ
,([)()(
ˆ
)(
0
tctfctfttte
ξ
η
η
−
−
=
−
≡ . (7.32)
При малой погрешности оценки параметра или в случае псевдолинейной
модели это выражение можно переписать в виде
)()
ˆ
()()(
0
tcctkte
ξ
−
−
⋅
= , (7.33)
где
0
),()(
cc
cctftk
=
∂∂= . Погрешность прогноза удобно характеризовать
средним квадратом (7.33):
22
0
22
]
ˆ
[)()]([
ξ
σ
+−⋅= ccMtkteM
. (7.34)
В случае несмещенной оценки параметра, которым мы ограничимся,
из (7.32) и (7.33) следует несмещенность )(
ˆ
t
η
как оценки )(
t
η
: 0)]([
=
t
e
M
.
Другими словами, систематической ошибки прогноза нет. Есть только
случайная ошибка, дисперсия которой равна
22
ˆ
222
)()]([)(
ξ
σσσ
+==
ce
tkteMt
. (7.35)
Если
ξ
в исходном процессе (7.3) или (7.24) нормальный, то 95%-й
интервал для )(
t
η
имеет вид
2
96.1)(
ˆ
e
t
ση
± . Эту формулу часто используют
как приближенную, даже если закон распределения
ξ
неизвестен.
17
Если дисперсия шума и погрешность оценки параметра не велики, то
ошибка прогноза (7.35) остается малой, пока мала величина
)(
t
.
Последнее имеет место для любого t, если ),( c
t
f
не чувствительна к
изменениям c. В противном случае )(
t
и ошибка прогноза могут
17
Вместо дисперсии
2
ξ
σ
можно подставить ее оценку
2
ˆ
ξ
σ
. Дисперсии оценок
параметров
2
ˆ
с
σ
обычно пропорциональны дисперсии шума
2
ξ
σ
и обратно
пропорциональны дине ряда N или более высоким степеням N (см. пп. 7.1.2.1, 7.1.2.2).
Приведем формулы для общего случая – вектора параметров
c. Ковариационную
матрицу оценок параметров можно оценить как
()
1
T2
ˆ
)
ˆ
(
−
= AAc
ξ
σ
Cov , где
∑
=
=
N
i
ikijkj
ttA
1
,
)()(
φφ
[60]. Диагональные элементы )
ˆ
(cCov – дисперсии оценок
параметров:
iiс
Cov
i
)]
ˆ
([
ˆ
2
ˆ
c=
σ
. Для нелинейной по параметрам модели оценку
ковариационной матрицы получают, обращая матрицу Гессе функции правдоподобия:
)
ˆ
()
ˆ
(
1
cHc
−
=Cov
, где
jiij
ccLH ∂∂∂= )
ˆ
(ln)
ˆ
(
2
cc
.

Страницы