Составители:
Рубрика:
Часть II. Моделирование по временным рядам
228
алгебраическим многочленом невысокого порядка в окрестности каждого
интересующего нас момента времени
i
t и оценка параметров этого
многочлена с помощью МНК.
19
Производная модельного многочлена
принимается в качестве оценки величины
dttdx
i
)(. Если частота выборки
достаточно высока и функция )(
t
x
достаточно гладкая, то аппроксимация
алгебраическим многочленом обоснована теоремой Тейлора о разложении
гладкой функции по степеням отклонения от
i
t
в окрестности
i
t
.
7.4.2.1. Дифференцирование при отсутствии шума.
Если 0
=
ξ
,
обычно используют интерполяционные многочлены. Точность
дифференцирования определяется тем, насколько хорошо может быть
приближена зависимость )(
t
x
многочленом в выбранной окрестности
i
t .
Наиболее простая схема – провести прямую через точки
i
t и
1+i
t
(многочлен 1-го порядка, рис.7.7,б). Оценка производной тогда имеет вид
tttdt
txd
ii
ii
iii
∆
−
=
−
−
=
+
+
+
η
η
η
η
1
1
1
)(
ˆ
. (7.36)
Погрешность можно оценить, используя формулу Тейлора
()
(
)
2)()(
222
1
tdttxdtdttdx
iiii
∆+∆+≈
+
ηη
. Получим ошибку, равную
(
)
2)(
22
tdttxd
i
∆ , т.е. пропорциональную
t
∆
. В этом случае говорят, что
метод имеет первый порядок точности. Уменьшение
t
∆
приводит к более
точным оценкам производной, но только при отсутствии шума и
погрешностей вычислений. Устремлять
t
∆
к нулю нельзя, т.к. при этом
проявится некорректность задачи численного дифференцирования (см.
ниже).
Можно повысить порядок точности метода, используя многочлены
более высокого порядка. Например, строя по точкам
1−i
t ,
i
t и
1+i
t
многочлен второго порядка, получим формулу
t
dttxd
ii
i
∆
−
=
−+
2
)(
ˆ
11
η
η
. (7.37)
Для равномерной выборки она свелась к проведению прямой через точки
1−i
t и
1+i
t . Ее порядок точности равен 2, т.к. погрешность равна
(
)
6)(
233
tdttxd
i
∆ . Имеются и формулы более высоких порядков [85, 153].
7.4.2.2. Некорректность задачи.
Покажем, почему нельзя брать очень
малую величину
t
∆
, например, в схеме (7.36). Пусть значения
1
,
+ii
η
η
известны с малыми погрешностями
1
,
+ii
ξ
ξ
порядка
δ
. Тогда погрешность в
19
Этот подход имеет много названий, например, фильтр Савицки – Голэя или
цифровой сглаживающий многочлен [289].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- …
- следующая ›
- последняя »
