Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 7. Восстановление функциональных временных зависимостей
229
значении производной составит
tt
ii
∆
∆
−
+
δ
ξ
ξ
~)(
1
. При сколь угодно
малой погрешности
δ
получим сколь угодно большую погрешность оценки
для достаточно малых
t
∆ . Это означает некорректность постановки
задачи – неустойчивость решения по входным данным (см. п. 5.3.2).
Некорректность задачи снимается, если при численном
дифференцировании величина порядка
21
δ
используется как минимально
возможное значение интервала
t
∆
. При этом погрешность оценки
производной ограничена и стремится к нулю при уменьшении
δ
. Это –
пример регуляризации при решении некорректной задачи.
7.4.2.3. Дифференцирование при наличии шума.
В этом случае
непосредственное использование формул типа (7.36) или (7.37) ведет к
«усилению шума» и большим ошибкам оценок производных (рис.7.8,а,б).
Чтобы снизить влияние шума, модельный алгебраический многочлен
строят в некотором достаточно широком окне [
tki
t
∆−
1
,
tki
t
∆+
2
] с помощью
МНК (рис.7.7,в). Эффективность подхода проиллюстрирована на рис.7.8,в.
Рис.7.8. Численное дифференцирование )(cos)( ttt
ξ
η
при нормальном шуме с
дисперсией 0.01 и
01.0
=∆t
. а) Исходный ряд, сплошная линия – не зашумленные
значения x(t), б) дифференцирование по формуле (7.37), сплошная линия – истинные
значения производной, в) дифференцирование с помощью сглаживающего многочлена
порядка 2, построенного по 51 точке, сплошная линия – истинные значения
производной. Погрешность многократно снижена
Поскольку производная равна одному из коэффициентов многочлена,
то величину ее среднеквадратичной погрешности можно получить,
рассчитав погрешность оценки этого коэффициента (п. 7.4.1).
Число коэффициентов многочлена должно быть не велико по
сравнению с числом точек окна. Чем больше число точек в окне, тем
меньше дисперсия оценки (выше точность дифференцирования). Но
интервал tkk
∆},max{
21
не должен быть слишком широк, чтобы
аппроксимация многочленом низкого порядка оставалась
удовлетворительной. Так что при фиксированном порядке многочлена есть
некоторая оптимальная ширина окна, когда погрешность из-за шумов и
погрешность из-за несовершенства аппроксимации примерно одинаковы.
Увеличение порядка многочлена может повысить точность, но только если

Страницы