Составители:
Рубрика:
229
Глава 8. Модельные уравнения: оценка параметров
Движения и процессы, наблюдаемые в природе, исключительно
разнообразны и сложны, поэтому возможности их моделирования явными
функциями времени весьма ограничены. Значительно большими
потенциальными возможностями обладают уравнения – разностные и
дифференциальные (пп. 3.3, 3.5, 3.6). Даже простое одномерное
отображение с квадратичным максимумом способно демонстрировать
хаотическое поведение (п. 3.6.2). Такие модельные уравнения, в отличие
от явных временных зависимостей
, проблемы восстановления которых
обсуждались в предыдущей главе, описывают зависимость будущего
состояния объекта от текущего или скорости изменения состояния от
самого состояния. Но технология построения этих более сложных моделей
(оценка параметров, подбор аппроксимирующих функций) в основном
такая же. Простой пример: построение одномерного модельного
отображения
),(
1
c
nn
f
η
η
=
+
отличается от получения явной временной
зависимости ),( c
t
f
=
η
только тем, что нужно провести кривую через
экспериментальные точки на плоскости
),(
1+nn
η
η
(рис.8.1,а-в), а не на
плоскости
),(
η
t
(рис.7.1). В несколько более сложной задаче построения
модельных ОДУ
),( cxfx =dtd сначала численным дифференцированием
получают временной ряд производных
dtdx
k
(k = 1, …, D, где D –
размерность модели), а затем обычным образом аппроксимируют
зависимость каждой производной
dtdx
k
от x. Поскольку модельные
уравнения могут быть многомерны, в задаче появляется своя специфика.
Долгое время для эмпирического моделирования сложных процессов
использовались линейные разностные уравнения, в которые для
обеспечения нерегулярности вводился шум (п. 4.4). Идея впервые была
предложена в 1927 году [338] и оказалась очень плодотворной, на 50 лет
вперед определив основной инструмент для описания сложного поведения
– модели авторегрессии – скользящего среднего, см. лабораторную работу
в [39].
Тот факт, что простые низкоразмерные модели в виде нелинейных
отображений или дифференциальных уравнений могут демонстрировать
сложные колебания даже в отсутствие шума, был осознан только в 1960-
70-х годах. Это дало новый импульс развитию методов эмпирического
моделирования, а появление мощной и доступной вычислительной
техники обеспечило практическую реализацию идей.
В данной главе мы рассмотрим ситуацию, когда наблюдаемый
временной ряд
Nith
ii
,...,1)),((
=
= x
η
, задается итерациями отображения
),(
1
cxfx
nn
=
+
или решением обыкновенного дифференциального
уравнения
),( cxfx =dtd , структура которых полностью известна. Задача
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- …
- следующая ›
- последняя »
