Составители:
Рубрика:
Часть II. Моделирование по временным рядам
232
Это означает, что график модельной функции на плоскости
()
1
,
+nn
η
η
должен пройти так, чтобы сумма квадратов вертикальных расстояний от
экспериментальных точек до него была минимальна (рис.8.1,б).
1
Как правило, ошибка оценки
с
ˆ
уменьшается с ростом длины ряда N. В
рассматриваемой сейчас постановке задачи ММП и обычный МНК дают
асимптотически несмещенные и состоятельные оценки. Можно показать,
что дисперсия оценок убывает пропорционально
1−
N
, аналогично задачам
п. 7.1.2.1. Причину такого закона спадания можно описать на том же
языке: слагаемые в (8.3) стационарны по i, т.е. частные информационные
количества Фишера (п. 7.1.2.2) ограничены.
Заметим, что если функция f линейна по x, то модель (8.1) – это
линейная модель авторегрессии 1-го порядка. Более общие модели
авторегрессии – скользящего среднего включают зависимость
1+n
x от
предыдущих значений x и
ξ
, см. (4.13) в п. 4.4, [47] и лабораторную работу
[39].
8.1.2. Измерительный шум
Если присутствует только измерительный шум (
nnn
x
ζ
η
+
=
), то, как
мы увидим ниже, задача оценивания усложняется. Это обстоятельство
связано с тем, что для искомой зависимости
1+n
x от
n
x «зашумлены» и
наблюдаемые значения «независимой» переменной
n
x (см. п.2.3.1.3).
8.1.2.1. Смещенность оценок, полученных обычным МНК.
Она
имеет место при сколь угодно длинном ряде, так как метод (8.3) рассчитан
только на динамический шум. Покажем это на примере (8.1). Имеем
() ()
(
)
()
.2
1),()(
1
1
2
2
1
2
0
2
1
1
2
2
11
1
1
2
1
∑
∑∑
−
=
+
−
=
++
−
=
+
+++−=
=++−+=−=
N
i
iiiiii
N
i
iiii
N
i
ii
ccxxccx
xcxcfcS
ξξξ
ξξηη
Найдем минимум S по c из условия
0
=
∂
∂
cS
, которое приводится к виду:
1
МНК часто дает приемлемую точность оценок, даже если шум не нормальный, т.е. метод
имеет самостоятельное значение (пп. 7.1.1.4, 7.1.3). Хотя допустимо применять и другие
методы, например, метод наименьших модулей, МНК гораздо удобнее в реализации (п. 7.1.5).
Существенная техническая проблема появляется, если «рельеф» целевой функции (8.3)
содержит много локальных минимумов, что часто имеет место, когда f нелинейна по c. Тогда
задача оптимизации решается итерационным путем, начиная с некоторой стартовой «догадки»
относительно искомых параметров [73]. Будет ли найден глобальный экстремум, зависит от
«удачи» при подборе стартовой догадки, ее близости к истинному значению параметра. В
примере (8.1) f линейна по c, поэтому целевая функция S квадратична по c и имеет
единственный глобальный минимум, который легко находится решением линейного
алгебраического уравнения.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- …
- следующая ›
- последняя »
