Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 249 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 8. Модельные уравнения: оценка параметров
233
()
(
)
022
1
1
2
1
22
11
2
0
2
=++⋅+++−
∑
−
=
+++
N
i
iiiiiiiiii
xxccxxccx
ξξξξξ
.
Решая это уравнение, получим оценку
.
446
22
ˆ
1
1
3
1
1
3
1
1
4
1
1
22
1
1
4
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
22
1
1
3
1
1
4
0
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
++++
−−−
++
=
N
i
ii
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii
N
i
iii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
ii
N
i
i
xxxxx
xxxxxc
c
ξξξ
ξξξξξξξ
Устремим теперь N к бесконечности, учтем независимость
i
ξ
от
1+i
ξ
и от
i
x , заменим суммы типа
∑
−
=
1
1
4
N
i
i
x
(усреднение по времени) на интегралы типа
44
0
),( xdxxcx ≡
∫
∞
∞−
µ
(усреднение по ансамблю). Здесь
),(
0
cx
µ
–
инвариантная мера (плотность распределения точек на аттракторе) для
отображения (8.1). При
2
0
=
c она может быть найдена аналитически:
(
)
11,11)2,(
2
<<−−= xxx
πµ
. Отсюда получаем
83,21
42
== xx
,
0=
n
x
для нечетных n. В итоге при 2
0
=
c получим асимптотическое (для
∞→
N
) значение оценки
)3248()34(
ˆ
242
0
+++=
ξξ
σξσ
cc
.
Это оценка смещенная: она занижена,
т.к. знаменатель больше числителя. На
рис.8.2 показана зависимость этого
асимптотического значения от отношения
шум/сигнал для нормально распределенного
шума. Оно практически не отличается от
истинного значения только при малых
шумах (смещение меньше 1%, если уровень
шума меньше 0.05). Смещение оценки тем
больше, чем больше уровень шума.
Аналогичные свойства наблюдаются и при
других распределениях шума [272, 50]. Но
поскольку обычный МНК прост в
реализации и может легко использоваться в
случае большого числа оцениваемых
параметров, в отличие от других методов,
его часто применяют на практике,
предполагая малый измерительный шум.
8.1.2.2. Как повысить точность оценок в случае значительного
измерительного шума?
Отчасти это удается при использовании так
Рис.8.2. Оценки параметра c в
(8.1), полученные с помощью
обычного МНК, при
∞
=N
,
2
0
=
c
и дисперсии шума
2
ζ
σ
.
По оси абсцисс отложено
отношение шум/сигнал,
измеряемое здесь как
отношение их
среднеквадратичных

Страницы