Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Часть II. Моделирование по временным рядам
236
8.2.1. Методы
Мы проиллюстрируем их на примере оценки параметров
обыкновенных дифференциальных уравнений без динамического шума.
Объект – классическая хаотическая система (система Лоренца):
,
),(
),(
21323
33122
1211
xxxсx
xсxxx
xxсx
+−=
−+−=
−
=
&
&
&
(8.6)
с параметрами
46,38,10
321
=
== ccc . Наблюдается только зашумленная
реализация величины
1
x :
nnn
tx
ζ
η
+
=
)(
1
, переменные
2
x и
3
x – скрытые.
Модель имеет вид (8.6), все три параметра
i
с считаются неизвестными.
8.2.1.1. Метод подгонки начального условия.
Все методики оценки
основаны так или иначе на идее типа (8.4), т.е. подбираются такое
начальное состояние модели и параметры, чтобы ее реализация была
близка к наблюдаемому ряду в смысле наименьших квадратов.
Непосредственное решение задачи типа (8.4) называют методом подгонки
начального условия [238, 334]. Согласно сказанному в п.8.1.1.2, он
неприменим для длинных хаотических рядов. Простое деление ряда на
сегменты с последующим усреднением оценок дает низкую точность
итоговой оценки, а итерации в обратном времени для многомерной
диссипативной системы не пригодны.
8.2.1.2. Метод множественной стрельбы.
Отчасти обойти трудности
и использовать более длинные ряды позволяет алгоритм Бока [196, 187],
который называют еще методом множественной стрельбы, т.к. при этом от
решения задачи Коши для получения траектории модели на всем
интервале наблюдения переходят к решению набора краевых задач. А
именно, разбивают исходный ряд },...,,{
21 N
η
η
η
на L неперекрывающихся
сегментов длины M и рассматривают начальные состояния модели
)(i
x на
каждом их них (т.е. в моменты времени
Lit
Mi
,...,1,
1)1(
=
+−
) как оцениваемые
величины, но не свободные. Решается задача условной минимизации,
которая в случае скалярной наблюдаемой
ζ
η
+
=
)(xh (в нашем примере
ζ
η
+=
1
x ) записывается в виде
(
)
[
]
.1,...,1,),,(
min,),,()(),...,,,(
)1()(
1
1
0
2
)(
)1()1(
)()2()1(
−==
→−=
+
=
−
=
+−+−
∑∑
Lit
thtS
ii
M
L
i
M
n
i
nMinMi
L
xcxx
cxxxxxc
η
(8.7)
Здесь выражение
),,(
)(
cxx
i
t
задает траекторию модели (решение
модельных уравнений), т.е. состояние модели
x
в момент времени t при

Страницы