Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Глава 9. Модельные уравнения: восстановление нелинейных характеристик
245
(7.24)). Отличие только в том, что по осям отложены не
),(
η
t
, а
),(
1+nn
η
η
.
Поэтому и методики используются те же, что в п. 7.2, с заменой пары
величин ),(
η
t
на ),(
1+nn
η
η
. Так, для аппроксимации функции одной
переменной (рис.9.1) удобно использовать алгебраические многочлены
невысокого порядка или кубические сплайны, см. п. 7.2.4. Параметры
оценивают чаще всего с помощью обычного МНК (8.3).
При наличии динамического шума в объекте (
nnn
xFx
ξ
+=
+
)(
1
) в
процедуре построения модели ничего не меняется. Измерительный шум
(
nnn
x
ζ
η
+= ) существенно усложняет задачу оценки параметров (п. 8.1.2).
При низком его уровне еще пригоден обычный МНК (п. 8.1.2.1). При
большом уровне желательно было бы использовать более сложные
методики (пп. 8.1.2.2, 8.2.1), но в случае «серого ящика» модель, как
правило, содержит довольно большое число оцениваемых параметров, что
многократно затрудняет использование этих методик.
Модельные дифференциальные уравнения. Для описания сложных, в
частности, хаотических, движений обычно используются нелинейные
модельные ОДУ ),( cxfx =dtd с числом переменных не менее трех. В
рассматриваемой постановке неизвестны некоторые компоненты поля
скоростей f, как в примере (9.1) и (9.2). Эти нелинейные характеристики
как бы «зашиты» внутри структуры модели и их можно найти, только если
построить всю модель. Рассмотрим некоторые детали методики.
Первый случай – наблюдаются все динамические переменные
k
x
:
)()()(
ikikik
ttxt
ζ
η
+= ,
D
k
,...,1= . Для построения модели нужно
аппроксимировать зависимость производной )(
ik
tx
&
от состояния )(
i
tx с
помощью функции ),(
kk
f cx для каждого
D
k
,...,1
=
. Значения
производных )(
ik
tx
&
обычно необходимо получить по наблюдаемым
данным
)(
ik
t
η
с помощью численного дифференцирования (п.7.4.2).
Обозначим полученные оценки )(
ˆ
ik
tx
&
. «Сглаженные» значения самих
наблюдаемых, обычно получаемые как «побочный продукт» при
дифференцировании, обозначим )(
ˆ
ik
tx . По полученным рядам величин
)(
ˆ
),(
ˆ
ikik
txtx
&
параметры модельных функций ),(
kk
f cx , которые включают
в себя и искомые нелинейные характеристики, рассчитываются с помощью
обычного МНК:
)
DktftxS
i
kikikk
,...,1min,)),(
ˆ
()(
ˆ
)(
2
=→−=
∑
сxс
&
. (9.3)
Второй случай – наблюдается единственная переменная:
)()()(
1 iii
ttxt
ζ
η
+= . Шансы на успешное моделирование появляются, если
уравнения исходного объекта с входящими в них нелинейными
характеристиками заданы в стандартном виде (3.27) (п. 3.5.3), где

Страницы