Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 263 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Часть II. Моделирование по временным рядам
246
компоненты вектора состояния
x
– последовательные производные
переменной )(
1 i
tx . Модель тогда следует строить также в стандартном
виде
),)(,)(),(()(
11
c
−−
=
DDDD
dttxddttdxtxfdttxd , (9.4)
Для этого по наблюдаемой
)(
i
t
η
путем численного дифференцирования
(п. 7.4.2) получают оценки
)1()2()1(
ˆ
,...,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
−D
xxxx
и
)(
ˆ
D
x
(верхний индекс
означает порядок производной). Параметры функции f, которая включает в
себя нелинейные характеристики, оценивают с помощью обычного МНК:
()
min)),(
ˆ
),...,(
ˆ
),(
ˆ
()(
ˆ
)(
2
)1()1()(
→−=
∑
−
i
i
D
iii
D
txtxtxftxS сс
. (9.5)
В обоих случаях методики эффективны при малом измерительном
шуме. Желательно также, чтобы функции
k
f в (9.3) и f в (9.5) линейно
зависели от параметров (псевдолинейные модели, см. п. 7.2.4). При
большом шуме моделирование крайне затрудняется, т.к. численное
дифференцирование еще усиливает его, особенно при расчете D
производных в (9.5). Обычный МНК становится непригодным, а
использование более сложных методик в случае многомерных моделей со
значительным числом неизвестных параметров нереалистично (см. с. 242).
9.2. Оптимизация структуры модели
К задаче о восстановлении характеристик в полной мере относится
утверждение о важности выбора структуры модели (пп. 7.2.3, 7.2.4). Для
выбора ее размера, например, числа слагаемых многочлена, пригодны
критерии, описанные в п. 7.2.3. Но как выбрать функции-слагаемые из
большого набора, чтобы обеспечить наилучшую модель заданного
размера?
Рассмотрим эффективный подход к подбору функций-слагаемых [25]
на примере реконструкции уравнений
осциллятора Ван дер Поля – Тоды
,1)1(
,
2
2
12
21
x
exxdtdx
xdtdx
−
+−−=
=
(9.6)
по ряду наблюдаемой
1
x
=
η
.
Соответствующая фазовая траектория,
включающая переходный процесс, показана
на рис.9.2. Пусть модель имеет вид:
Рис.9.2. Фазовая траектория
осциллятора Ван дер Поля –
Тоды (9.6), включающая
переходный процесс. Аттрактор
– предельный цикл. Цифры –
номера отсчетов, интервал
выборки 001

Страницы