Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Безручко Б.П - 286 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

Часть II. Моделирование по временным рядам
268
Рис.10.6. Гармонические колебания при отсутствии шума: а) восстановление векторов
w методом задержек по скалярному ряду (размерность k = 3); б) восстановленная
траектория – плоский эллипс, вытянутый вдоль главной диагонали пространства
k
R
; в)
восстановленная траектория в новой системе координат (после преобразования
поворота), составляющая векторов вдоль направления
3
s равна нулю
В этом пространстве производится преобразование поворота, причем
направления новых осей координат (это
{
}
321
,, sss
на рис.10.6,б,в)
выбираются в соответствии с теми направлениями, вдоль которых
наиболее интенсивно развивается движение. Количественно эти
характерные направления и протяженность вдоль них можно определить,
анализируя матрицу ковариаций
Θ
компонент вектора
w
. Это – квадратная
матрица порядка k:
∑
−
++
=Θ
kN
n=
njniji
0
,
ηη
,
k
j
i ,...,1,
=
. Она симметрична,
вещественна, положительно определена. Следовательно, ее собственные
векторы образуют полный ортонормированный базис пространства
k
R
, а
ее собственные значения являются неотрицательными величинами.
Обозначим собственные значения в порядке невозрастания
22
2
2
1
,...,,
k
σσσ
, а
соответствующие собственные векторы –
k
sss ,...,,
21
. Переход к базису
k
sss ,...,,
21
можно выполнить путем преобразования
)()(
T
ii
tt wSx ⋅=
′
, где
S
– матрица со столбцами
k
sss ,...,,
21
. Это преобразование известно в теории
информации как преобразование Карунена – Лоэва. Нетрудно показать,
что при этом переходе матрица ковариаций компонент векторов
x
′
примет
диагональный вид:
==
′
2
2
2
2
1
00
00
00
k
...
............
...
...
σ
σ
σ
ΘSSΘ
T
,
т.е. компоненты векторов x
′
некоррелированы, что является признаком
«хорошей» реконструкции. Диагональные элементы матрицы ковариаций
в новом базисе
2
i
σ
– это средние квадраты проекций траектории
)(
i
tw
на
координатные оси
{}
i
s
. Они определяют протяженность траектории вдоль
соответствующего направления. Ранг матрицы Θ равен числу ненулевых
собственных значений (для ситуации, представленной на рис.10.6,б,
ненулевые только
2
1
σ
и
2
2
σ
) и равен размерности подпространства, в
котором происходит движение.

Страницы