Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
48
сосуществующих в фазовом пространстве (в); бассейны притяжения неавтономной
системы при значениях параметров, когда в фазовом пространстве сосуществуют два
хаотических аттрактора (г)
Первая соответствует положению покоящегося шарика на вершине
горки (рис.2.2,а), а вторые – в левой и правой ямках. Большинство других
точек фазового пространства соответствуют состояниям, в которых
изображающие точки в следующий момент не остаются. Их движению в
фазовом пространстве соответствует тот или иной вид фазовой траектории
и зависимости динамических переменных от времени
)(tx
k
, рис.2.2,б.
Обратите внимание, что в типичной фазовой траектории можно выделить
начальный участок (переходный процесс) и более поздний этап движений,
которые отличаются большей степенью повторяемости – установившиеся
движения. Установившимся движения, которые менее разнообразны, чем
переходные процессы, в фазовом пространстве диссипативных систем
соответствуют объекты, названные аттракторами – от английского
«attract» – притягивать, привлекать. В рассматриваемом примере это –
состояния устойчивого равновесия – точки равновесия
21
A,A
. Они
действительно как бы притягивают к себе траектории из определенных
областей фазового пространства. При старте из разных точек (1 и 2 на
рис.2.2,б) фазовые траектории могут попасть на различные аттракторы.
Множества точек в фазовом пространстве, из которых система попадает на
аттрактор, называется бассейном притяжения данного аттрактора.
9
Если
аттрактор в фазовом пространстве единственный, его бассейном является
все фазовое пространство. При наличии нескольких аттракторов говорят,
что имеет место мультистабильность. При этом бассейны делят фазовое
пространство между собой, как, например, указано штриховкой на
рис.2.2,в,г.
Аттракторы могут существовать в пространстве состояний только
диссипативных динамических систем. Так называют системы,
9
Строгое определение аттрактора – предмет многих дискуссий в научной литературе.
До сих пор такого общепризнанного определения нет. Приведем одно из популярных,
которое дается в несколько шагов [115, с.76-77]. «… множество A называется …
инвариантным, если AA
=Φ
t
. Окрестностью множества A называется открытое
множество U, включающее замыкание множества A, т.е. A вместе со всеми своими
предельными точками, в том числе граничными. … Замкнутое инвариантное
множество A называется притягивающим множеством, если для него существует
окрестность U, такая что для всех
U
∈
x
,
A)(
→
Φ
x
t
при
∞
→
t
. Наибольшее U,
удовлетворяющее этому определению, называется областью притяжения A. …
Аттрактором A называется притягивающее множество, содержащее всюду плотную
траекторию». Можно переформулировать это определение грубо: аттрактор –
наименьшее множество, к которому стремятся почти все траектории ДС из некоторой
области ненулевого объема.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
