Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
51
представить, разрезав левые картинки на рис.2.4 плоскостью (сечение
Пуанкаре). Точка и однооборотный цикл дадут в разрезе одну точку. Более
сложные циклы – несколько точек. Траектория на торе точками прокола
секущей плоскости «нарисует» замкнутую кривую, которая в дискретной
системе представляет в фазовом пространстве квазипериодическое
движение. Хаотический аттрактор будет представлять собой сложно
структурированный (часто, самоподобный) набор точек. Хаотическое
движение может происходить в фазовом пространстве даже одномерных
необратимых отображений.
2.1.4. Характеристики аттракторов
2.1.4.1. Геометрические характеристики.
Кроме визуально
фиксируемых различий портреты в фазовом пространстве обладают
набором количественных мер. Наиболее популярными среди них являются
размерности. Целочисленную топологическую размерность
T
D можно
определить по индуктивному принципу [144]: для точки устанавливается
размерность
0
=
T
D
; множество, которое может быть разделено на
непересекающиеся части подмножеством размерности
T
D
, имеет
размерность
1+
T
D . В соответствии с этими правилами гладкая линия
имеет топологическую размерность 1
=
T
D , поверхность – 2=
T
D , объем –
3
=
T
D . Соответственно, точка равновесия, цикл и тор имеют
топологические размерности 0, 1 и 2, подробнее см. [115, с. 208-209].
Структура странных аттракторов качественно отличается от
перечисленных множеств. Они фрактальны (самоподобны), что требует
введения более сложных мер – фрактальных размерностей. Наиболее
простая из них – емкость – оценивает только геометрию аттрактора.
Вводятся и обобщенные размерности, учитывающие посещаемость его
подмножеств изображающей точкой. Далее мы ограничились лишь
короткой информацией о фрактальных мерах и для иллюстрации
разместили на сайте [347] учебно-демонстрационную программу,
разработанную Т.В. Диканевым. Для более подробного знакомства с
фрактальными мерами и методиками их вычисления рекомендуем лекции
11-13 из книги [104], которая доступна на сайте [340], и указанные в них
ссылки.
Для определения емкости предельное множество в D-мерном фазовом
пространстве покрывается D-мерными кубами (т.е. отрезками, квадратами,
трехмерными кубами и т.д.), со стороной
ε
. Пусть необходимое для
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
