Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
53
оценка вероятности ее посещения.
13
Тогда
14
ε
ε
ε
ln
ln
lim
1
1
)(
1
0
∑
=
→
−
=
N
i
q
i
q
p
q
D . (2.3)
Выделяют специальные виды обобщенной размерности: при
0
=
q
это – описанная выше емкость, при
1
=
q – информационная размерность (в
смысле предела при 1→q ), при 2
=
q – корреляционная размерность.
Последняя характеризует асимптотическое поведение пар точек на
аттракторе. Действительно, величины
2
i
p
можно интерпретировать как
вероятность найти две изображающие точки внутри i-го куба размера
ε
.
Как раз эту величину легче всего оценить. Прямое использование
определения (2.3) приводит к вычислительным трудностям при 3
D
> .
Поэтому развиты различные численные методы оценки размерностей по
фрагменту дискретизованной во времени фазовой траектории
)(),...,(),(
21 N
ttt xxx . Одним из самых известных является алгоритм
Грассбергера – Прокаччиа для оценки корреляционной размерности [234].
Он опирается на расчет так называемого корреляционного интеграла
()
∑∑
=+=
−−Θ
−
=
N
i
N
ij
ji
tt
NN
С
11
)()(
)1(
2
)( xx
εε
, где
Θ
– функция Хевисайда
(0,0)( ≤=Θ
s
s
, 0,1)( >=Θ
s
s
),
⋅
– норма вектора (например, евклидова, но
можно использовать и любую другую). Нетрудно увидеть, что это – оценка
вероятности того, что две точки, произвольно выбранные на аттракторе в
соответствии с его вероятностной мерой, окажутся на расстоянии,
меньшем
ε
. При 0→
ε
имеет место
2
)(
D
AС
εε
≈ , как следует из (2.4).
13
Это строго применимо для аттракторов, обладающих эргодической мерой. [112].
14
Дополнительный математический комментарий [112]. Предположим, что
i
p
в
каждом (непустом) элементе разбиения подчиняется показательному закону:
α
ε
∝
i
p
.
Если мы имеем дело с точками на отрезке, то
1
=
α
соответствует равномерному
распределению точек. Однако, для областей, где точек мало, может возникнуть
ситуация, когда
1<
α
. В этом случае отношение
∞
→
ε
i
p при 0→
ε
, потому такое
распределение называют сингулярным (для квадрата, сингулярные распределения будут
иметь области с показателем
2
<
α
). Чтобы оценить поведение плотности в различных
участках носителя, подсчитывают функцию разбиения
∑
i
q
i
p , где параметр ),(
∞
−∞∈q
позволяет «подстраивать» оценку под участки с разной плотностью вероятностей. Если
функция разбиения зависит от
ε
по степенному закону, то вводят определение (2.3) и
говорят о мультифрактальном распределении. Если
q
D принимает различные
значения в зависимости от
q, то аттрактор называют мультифракталом [104, с. 182].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
