Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
54
Тогда корреляционную размерность
2
D
можно оценить как наклон
графика
)(lnln
ε
C при малом
ε
. На практике число точек траектории N
ограничено, поэтому размер ячейки
ε
нельзя сделать сколь угодно малым.
Причем для надежной оценки размерности требуется тем большее число
точек, чем больше размерность. Существуют различные мнения о
необходимом числе точек, полученные при различных предположениях
[88, 220, 221], см. подробности также в [104, 115].
Для целочисленной оценки размерности наблюдаемого движения
сверху используются и другие идеи. Один из наиболее популярных
–
метод ложных близких соседей
[258] – основан на проверке того свойства,
что фазовая траектория, восстановленная в пространстве достаточной
размерности не должна иметь самопересечений. Он применяется для
восстановления фазовой траектории по временной реализации
единственной переменной (см. п.10.1.2.2).
Другой известный метод –
метод главных компонент [199] –
заключается в выделении в фазовом пространстве направлений, вдоль
которых, в основном, развивается движение изображающей точки, на
основе анализа корреляций между компонентами вектора состояния (см.
п.10.1.2.3).
2.1.4.2. Динамические характеристики
. Наиболее популярными из
динамических характеристик являются так называемые
ляпуновские
показатели, которые характеризуют скорость разбегания или сближения
изначально очень близких фазовых траекторий. Малое отклонение
изображающей точки от некоторой траектории на аттракторе, т.е. малое
возмущение
0
ε
, до тех пор, пока оно не достигло значительных величин,
эволюционирует приближенно по экспоненциальному закону вида
t
et
∆
=∆
λ
εε
0
)( (рис.2.6,а). В результате D-мерная сфера множества
начальных возмущений через некоторое время трансформируется в
эллипсоид. Не давая системе увеличивать возмущения (эволюционировать
по штриховому участку траектории на рис.2.6,а) ограничением отрезка
времени наблюдения
τ
, можно вычислить показатели экспоненты через
отношения длин полуосей эллипса возмущений к начальному радиусу:
()()
0
ln1
ε
ε
τ
λ
ii
= . Усредненные по всему аттрактору значения этих
коэффициентов называют
показателями Ляпунова, мы их обозначим
D
ΛΛΛ ,...,,
21
. Они характеризуют устойчивость движения на аттракторе в
линейном приближении. Упорядоченный по убыванию набор значений
i
Λ
называют спектром Ляпуновских показателей, а последовательная запись
их знаков (+, –, или 0) –
сигнатурой спектра. Если все показатели
отрицательны, т.е. сигнатура имеет вид
−
−
−
...,,,, то аттрактором
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
