Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
56
Чтобы охарактеризовать нарастание (или убывание)
ε
в многомерном
случае, нужно рассмотреть эволюцию сферы начальных условий с центром
в нуле и радиусом
0
ε
. Поскольку система линейна, сфера преобразуется в
эллипсоид с тем же центром. Величина и ориентация полуосей эллипсоида
зависят от матрицы
M
, а значит, и от величины интервала
t
∆
. В
зависимости от ориентации начального вектора
0
ε модуль ε меняется по-
разному. Для описания этой ситуации используем так называемое
сингулярное разложение матрицы
M
. Это разложение вида
T
VΣUM
⋅
⋅= ,
где
U
и
V
– ортогональные матрицы, которые удобно записать в виде
наборов векторов
[
]
D
uuuU ...
21
= ,
[
]
D
vvvV ...
21
=
. Если
M
невырождена, то векторы
D
uuu ...,,,
21
(их называют левыми
сингулярными векторами матрицы M) имеют единичную длину и взаимно
ортогональны, т.е. образуют ортонормированный базис пространства
D
R
.
То же самое относится к векторам
D
vvv ,...,,
21
(правым сингулярным
векторам). Матрица
Σ
диагональна; числа
D
σ
σ
,...,
1
на ее диагонали
обычно располагают в порядке убывания и называют сингулярными
числами
матрицы
M
. Действие матрицы
M
на вектор
0
ε , имеющий
направление одного из правых сингулярных векторов
i
v , изменяет его
длину в
i
σ
раз и переводит его в вектор, имеющий направление левого
сингулярного вектора с номером
i:
ii
tt uεε
00
)(
σ
=
∆
+
(рис.2.6,б). Таким
образом, если хотя бы одно из сингулярных чисел
M
по модулю больше 1,
то для некоторых направлений начальное возмущение возрастает (на
рис.2.6,б одно сингулярное число больше 1, а другое – меньше). Быстрее
всего оно возрастает для направления
1
v . Величины, показывающие, во
сколько раз меняется величина возмущения, называют
локальными
ляпуновскими показателями:
ii
t
tt
σλ
ln
1
),(
0
∆
=∆
. (2.7)
Они описывают
средний за конечное время экспоненциальный рост
возмущений. Согласно определению (2.7) для соответствующих
направлений начального возмущения имеет место строгое равенство
ttt
i
ett
∆∆
⋅=∆+
),(
00
0
)(
λ
εε . А.М. Ляпунов показал, что при стремлении ∆t к
бесконечности и при определенных условиях, наложенных на матрицу
A
,
15
существуют конечные пределы
15
Существует число L, такое что
LtdtA
t
tt
t
ij
≤
′′
∆
∫
∆+
0
0
)(
1
для любых
ij
A
и ∆t [104, с. 140].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
