Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
58
В 1968 г. Оселедец показал, что для любого типичного
0
x
на
рассматриваемом аттракторе набор ляпуновских показателей один и тот
же. Это утверждение составляет содержание так называемой
мультипликативной эргодической теоремы, см., например, [115, с. 224-227;
157].
Итак, ляпуновские показатели характеризуют эволюцию малых
(настолько малых, чтобы для их описания была применима
линеаризованная система (2.10)) возмущений не только на
индивидуальной опорной траектории, но и на всем аттракторе ДС.
Старший ляпуновский показатель оценивает эффективную скорость роста
бесконечно малых возмущений.
2.1.5. Пространство параметров. Бифуркации. Комбинированные
пространства, бифуркационные диаграммы
При изменении параметров аттракторы в фазовом пространстве
эволюционируют (деформируются, меняют свои размеры), и при
некоторых значениях параметров теряют устойчивость. В результате
происходит качественное изменение возможных движений в системе,
изменение фазового портрета (например, изменение числа аттракторов в
фазовом пространстве) – ситуация, получившая название бифуркации
16
[42, 114]. Следует подчеркнуть, что плавная деформация аттрактора и
сопровождающие ее изменения формы колебаний не считаются
качественным изменением. Используя геометрические представление в
пространстве параметров, когда на осях координат откладываются
значения параметров, можно наглядно представить всю совокупность
видов установившихся движений и переходов между ними, возможные в
рассматриваемой динамической системе. Это делается с помощью
некоторых методических приемов.
Основной прием состоит в выделении множеств точек, разделяющих
области с качественно различным поведением – бифуркационных
множеств. В наглядном примере с кошкой пространством параметров
является плоскость
21
,aa (рис.2.1,д), а линии границ областей с различной
штриховкой являются бифуркационными: область 2 соответствует
здоровью, полноценному существованию, а в областях 1 и 3 скоро
существование заканчивается трагически из-за бескормицы или
обжорства. Значительно сложнее устроены пространства параметров,
представленные, например, на рис.3.6, 3.7, 3.11, 3.19. Бифуркационные
множества – здесь это линии –делят всю плоскость параметров на области
существования различных аттракторов в фазовом пространстве. Обратите
16
Первоначально слово бифуркация использовалось для обозначения раздвоения пути
эволюции, но в настоящее время так стали называть любое качественное изменение.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
