Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
57
0
0
)(
ln
1
lim
ε
ε tt
t
t
i
∆
+
∆
=Λ
∞→∆
, i = 1,2,…,D, (2.8)
где величины
i
Λ и есть ляпуновские показатели. Они показывают
эффективную скорость нарастания (убывания) возмущений. Какое именно
из D значений наблюдается для данного начального возмущения
0
ε
,
зависит от его направления. Для почти любого направления
0
ε
возмущение изменяется со скоростью, определяемой старшим показателем
1
Λ . Если
1
Λ положителен, то он и определяет эффективную скорость
нарастания возмущений. Следовательно, он может быть связан с пределом
предсказуемости системы (2.4) в ситуации, когда само уравнение известно
точно, а начальное условие известно с некоторой погрешностью.
Аналогичный анализ можно провести для линейных разностных
уравнений.
Линеаризованная динамика и ляпуновские показатели. Для
нелинейных систем анализ на устойчивость проводят с помощью
исследования линеаризованной системы уравнений. Пусть задана
нелинейная система:
)(xfx
=
dtd
. (2.9)
Рассмотрим одну из ее траекторий
)(
t
x
с начальным условием
00
)( xx =t и исследуем поведение траектории, стартующей очень близко от
нее в точке
000
)( εxx +=t . Будем называть траекторию с
00
)( xx
=
t
опорной. Эволюция очень малых возмущений, которые остаются малыми
на всем интервале рассмотрения, определяется линеаризованной в
окрестности опорной траектории системой:
0
0
0
)),((
ε
x
xxf
ε
∂
∂
=
t
dt
d
. (2.10)
Это уравнение совпадает с (2.4), если положить
0
0
)),((
)(
x
xxf
A
∂
∂
=
t
t .
Для него можно записать решение в виде (2.5), где матрица
M
отображает
бесконечно малую сферу начальных условий с центром
0
x в эллипсоид с
центром )(
0
tt ∆+x , см. рис.2.6,б. Строго говоря, если возмущение не
бесконечно мало, а конечно, образом сферы будет не эллипсоид, а другое
множество. Линеаризованная динамика лишь приближенно будет
описывать эволюцию этих конечных возмущений, см. рис.2.6,в. Для любой
опорной траектории существует набор ляпуновских показателей,
характеризующих линеаризованную динамику в ее окрестности.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
