Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
55
является точка равновесия. Сигнатура предельного цикла –
−− ...,,,0
, для
двумерного тора –
−
−
...,,,0,0 . В спектре ляпуновских показателей
хаотического аттрактора обязательно присутствует хотя бы один
положительный показатель, например,
−
−
+
...,,,0,, определяющий
типичное «разбегание» изначально близких траекторий.
Рис.2.6. Иллюстрация идеи вычисления ляпуновских показателей (а). Эволюция
окружности с центром
0
x под действием линейной (б) и нелинейной системы (в)
Опишем теперь некоторые математические детали более подробно.
Для этого ограничимся сначала линейной системой обыкновенных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
)()()( ttdttd εAε
=
, (2.4)
где
D
R
∈ε
и
A
– матрица порядка
D. Обозначим
00
)( εε
=
t
. Тогда решение
уравнения (2.4) в момент времени
tt
∆
+
0
можно найти по формуле
000
),()( εMε
⋅
∆
=
∆
+
tttt , (2.5)
где ),(
0
tt ∆M – матрица порядка D, зависящая от начального момента
времени и интервала
t
∆
, которая имеет вид:
′′
=∆
∫
∆+ tt
t
tdttt
0
0
)(exp),(
0
AM
, (2.6)
где экспонента с матрицей в показателе понимается в смысле формального
разложения в степенной ряд. Для иллюстрации положим
D = 1 и
cons
t
a
t
==)(A
, тогда
)()( taεdttdε
=
и решение (2.5) и (2.6) принимает
знакомый вид
at
eεttε
00
)( =∆+ . Таким образом, в случае постоянных
коэффициентов возмущение изменяется по экспоненциальному закону.
Если коэффициенты не постоянны, то ситуация несколько меняется.
Например, для
t
ba
t
cos)( +=A
получим
tbta
eeεttε
∆−∆
=∆+
sin
00
)(
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
