Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
61
форму, то события А и B равновероятны (шансы на выпадение орла и
решки равны). Равновероятные взаимно исключающие друг друга
события, образующие полную группу, называют
элементарными.
Вероятность объединения взаимно исключающих друг друга событий
равна сумме их вероятностей. В рассматриваемом примере события А и B
образуют полную группу, поэтому
{
}
{
}
{
}
1BPAPBAP
=
+
=
∪ . Отсюда и из
условия равновероятности получаем, что индивидуальные вероятности
{} {}
21BPAP ==
.
Не всегда удается выделить элементарные события. В некоторых
случаях помогают геометрические соображения (геометрическое
определение вероятности). Пусть испытание состоит в том, что в область A
плоскости случайно бросается точка. В область A точка попадет
достоверно, и все участки A «равноправны». Точка может попасть в
область
AB ⊂
, а может и не попасть. Вероятность того, что точка попадет
в область B определяется через отношение площадей B
и A:
)A()B(
µ
µ
,
где
µ
означает (лебегову) меру множества. В данном примере – это
площадь, но формулу можно использовать без изменений для «бросания
точки» в пространство любой размерности. Это определение можно
связать с выделением элементарных событий, если назвать ими попадания
точки в малые квадраты, покрывающие А, и устремить длину сторон
квадратов к нулю.
19
Наиболее привычным для физиков является статистическое
определение вероятности. Если в результате
N независимых испытаний
событие А реализовалось
M раз, то отношение
NM
называют частотой
появления события А. Если при увеличении числа испытаний до
бесконечности частота
NM стремится к некоторому пределу, то этот
предел и называют вероятностью события А. Это наиболее наглядный
(физический) смысл понятия вероятности. Заметим также, что свойство
стабилизации частот появления событий называют статистической
19
Следует заметить, что для геометрических вероятностей важно четко определить, что
понимается под «случайной» точкой, прямой или плоскостью. Например, оценим
вероятность того, что «случайная» хорда превышает длину стороны правильного
треугольника, вписанного в единичную окружность. Хорду можно выбрать «случайно»
разными способами. Первый вариант: совместим начало хорды с одной из вершин
треугольника, оставив второй конец свободным. Доля благоприятных исходов, когда
длина хорды превысит длину стороны, составляет 1/3. Другой вариант: будем выбирать
случайно точку – середину «случайной» хорды в круге. Хорда длиннее стороны
треугольника, когда ее середина лежит внутри круга вписанного в треугольник. Радиус
этого круга равен половине радиуса описанной окружности и, следовательно, доля
благоприятных исходов, которая оценивается как отношение площадей двух кругов,
равна 1/4. Мы получили два разных ответа, в зависимости от выбора понятия
«случайной» хорды.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
