Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
62
устойчивостью. Аппарат теории вероятностей пригоден для описания
явлений, удовлетворяющих условию статистической устойчивости.
2.2.1.2. Случайные величины и их характеристики.
Случайной
величиной называется числовая функция
ξ
, определенная на множестве
случайных событий. В случае с монетой значения случайной величины
можно определить как
1
=
ξ
(выпал орел) и
0
=
ξ
(выпала решка).
Вероятность того, что
1=
ξ
, есть вероятность выпадения орла.
Для полной характеристики случайной величины следует задать
вероятности, с которыми она принимает свои значения. Например, можно
использовать так называемую
функцию распределения
{}
xxF
≤
≡
ξ
ξ
P)(
.
Если
ξ
непрерывнозначна и функция распределения дифференцируема, то
можно ввести функцию
плотности распределения вероятностей
dxxdFxp )()(
ξξ
≡
: вероятность попадания
ξ
в бесконечно малый отрезок
[]
dxxx +,
равна
dxxp )(
ξ
. Далее для определенности будем говорить о
случайных величинах, для которых можно ввести плотность вероятности.
Перечислим некоторые часто встречающиеся законы распределения.
Нормальный (гауссовский) закон:
()
()
2
2
2
2
21)(
σ
ξ
πσ
ax
exp
−
−
⋅=
, (2.11)
где
a и
2
σ
– параметры. Это одно из наиболее часто используемых в
теории вероятностей распределений. Причина его популярности в том, что
оно имеет многие полезные теоретические свойства и допускает получение
ряда аналитических результатов. Кроме того, на практике величины,
которые являются результатом действия многочисленных факторов, часто
распределены примерно по нормальному закону. Это имеет теоретическое
обоснование – центральную предельную теорему,
20
которая утверждает,
что сумма большого числа одинаково распределенных независимых
случайных величин распределена асимптотически нормально, т.е. закон ее
распределения стремится к нормальному при увеличении числа слагаемых.
Экспоненциальный закон (распределение Лапласа):
(
)
<
≥
−
=
.0,0
,0),exp(1
)(
x
xaxa
xp
ξ
(2.12)
Равномерное распределение на отрезке
],[ ba :
20
Многие авторы пишут с иронией о частом использовании нормального закона для
описания данных и ссылках на центральную предельную теорему: «… инженеры
думают, что применимость ЦПТ на практике – это строго доказанное утверждение, а
математики полагают, что это экспериментальный факт…», см., например, [289].
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
