Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
65
функцией случайных величин
),...,(
ˆ
1 N
xxfa
=
. По одной выборке получим
одно значение
a
ˆ
, а по другой – другое, т.е.
a
ˆ
характеризуется своей
плотностью распределения
)
ˆ
(ap
f
(см. рис.2.7), которая определяется
законом распределения
)(xp
ξ
и выбранным способом расчета
a
ˆ
, т.е.
функцией f. Разным f соответствуют оценки с разными законами
распределения и вероятностными свойствами.
2.2.1.4. Смещение и дисперсия оценок.
Наиболее важным свойством
оценки является близость ее значений
a
ˆ
к истинному значению
оцениваемой величины a. Эту близость можно характеризовать по-
разному. Наиболее удобным и широко применяемым способом
определения погрешности оценки является средний квадрат разности
между
a
ˆ
и a:
()
[]
()
∫
∞
∞−
−≡− adapaaaaM
f
ˆ
)
ˆ
(
ˆˆ
22
. (2.16)
Нетрудно показать, что погрешность равна сумме двух слагаемых:
()
(
)
2
ˆ
22
]
ˆ
[]
ˆ
[
a
aaMaaM
σ
+−=−
. (2.17)
Разность
[]
aaM −
ˆ
называется смещением или систематической ошибкой.
Таким образом, квадрат погрешности оценки равен сумме квадрата
смещения и дисперсии оценки. «Хорошей» оценкой будет та, для которой
малы и смещение, и дисперсия. Но при фиксированном объеме выборки
требования минимизации дисперсии и смещения, как правило,
противоречат друг другу, и приходится искать компромисс между ними.
Конкретная форма этого компромисса определяется спецификой задачи,
например, можно минимизировать величину (2.17).
Оценка, смещение которой равно нулю, т.е.
[
]
aaM
=
ˆ
для любого
A
a ∈
, называется несмещенной. При усреднении значений такой оценки
по различным выборкам получится величина, более близкая к истинному
значению a, т.к. случайные ошибки взаимно компенсируются.
Несмещенных оценок величины a (с различными функциями f) можно
«придумать» много. Они различаются по дисперсии. Можно показать, что
несмещенная оценка с минимальной дисперсией единственна, т.е. если
минимально возможное значение дисперсии есть
2
min
σ
, то только для одной
оценки оно достигается в точности. Несмещенная оценка с минимальной
дисперсией
2
min
σ
, является привлекательным вариантом, хотя
минимальный квадрат погрешности (2.17) может достигаться для другой
оценки – несколько смещенной, но зато с меньшей дисперсией.
Несмещенной оценкой математического ожидания по выборке из
независимых значений является так называемое эмпирическое
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
