Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
66
(выборочное) среднее, будем обозначать его угловыми скобками и нижним
индексом N:
N
x
. Это просто арифметическое среднее:
∑
=
==
N
i
iN
N
x
N
xxf
1
1
1
),...,(
ξ
. (2.18)
При нормальном законе – это оценка с минимальной дисперсией. Для
симметричного распределения
ξ
, но с большим эксцессом и прочими
отклонениями от нормальности, меньшую дисперсию имеет оценка,
рассчитываемая как выборочная медиана.
23
Она более устойчива и по
отношению к вариациям закона распределения
ξ
. Свойство устойчивости
по отношению к тем или иным возмущениям часто называют
робастностью
. Для расчета выборочной медианы упорядочивают
значения в выборке по возрастанию:
N
iii
xxx
<
<
<
...
21
. Тогда при нечетном
N выборочная медиана есть
()
21+N
i
x
, а при четном
(
)
2
122 +
+
NN
ii
xx .
Выборочное среднее (2.18) – оценка, несмещенная при любом
распределении
ξ
, а выборочная медиана смещена для несимметричных
законов распределения.
Оценкой начального момента
][
n
M
ξ
может служить эмпирический
(выборочный) момент порядка n:
∑
=
=
N
i
n
i
N
n
x
N
1
1
ξ
. (2.19)
При оценивании центральных моментов ситуация несколько отличается,
т.к. неизвестно значение ][
ξ
M
, которое входит в определение. Так, оценку
дисперсии можно получить как эмпирическую (выборочную) дисперсию:
(
)
∑
=
−=
N
i
N
i
x
N
1
2
2
1
ˆ
ξσ
ξ
. (2.20)
Но она несколько смещена из-за замены ][
ξ
M
на эмпирическое среднее.
Можно показать, что несмещенной оценкой будет
()
∑
=
−
−
=
N
i
N
i
x
N
1
2
2
1
1
ˆ
ξσ
ξ
. (2.21)
2.2.1.5. Состоятельность оценок. Важно проследить, как меняются
свойства оценки при увеличении объема выборки N. В общем случае при
23
Медианой распределения называется такое число b, которое делит ось x на две
равновероятных области:
{}
{
}
21PP =>=< bb
ξξ
. Для симметричного распределения
медиана совпадает с математическим ожиданием.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
