Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
68
несмещенными и состоятельными [93], так что при больших объемах
выборки вполне могут использоваться.
2.2.1.7. Метод максимального правдоподобия.
В большинстве
случаев оценки с наилучшими свойствами обеспечивает метод
максимального правдоподобия (ММП). Он состоит в следующем. Выборка
есть случайный вектор размерности N: ),...,(
1 N
xx
=
x , который
характеризуется некоторой плотностью распределения, зависящей от
значения вектора параметров
c
. Обозначим эту условную плотность
)( cx
N
p
. Подберем такие значения параметров
cc
ˆ
=
, при которых
плотность вероятности появления имеющейся выборки максимальна, т.е.
когда ее появление есть наиболее правдоподобное событие. Эти значения
c
ˆ
и называются оценками максимального правдоподобия (МП-оценками).
Функция
)()( cxc
N
pL =
, где
x
– фиксированный вектор (имеющаяся
выборка) называется функцией правдоподобия. Заметим, что ее нельзя
трактовать как плотность вероятностей для значений параметров
c
, т.к. эти
параметры по постановке задачи являются фиксированными числами, а не
случайными величинами. Поэтому и был введен специальный термин –
функция правдоподобия. МП-оценки доставляют ей максимальное
значение:
)(max)
ˆ
( сс
с
LL
A∈
=
. Необходимое условие максимума имеет вид:
PjсL
j
,...,1,0)(
=
=
∂
∂
с
. (2.24)
Часто удобнее работать с логарифмом функции правдоподобия. Он имеет
максимум в той же точке, что и
)(сL
, поэтому МП-оценки ищут из
уравнений
PjсL
j
,...,1,0)(ln
=
=
∂
∂
с
, (2.25)
которые и называют уравнениями правдоподобия.
В рассматриваемом случае выборки, состоящей из независимых
значений, функция правдоподобия равна произведению плотностей
вероятности каждого значения
i
x
, а логарифмическая функция
правдоподобия равна сумме логарифмов:
∑
=
=
N
i
i
xpL
1
)(ln)(ln сс . (2.26)
В рассматриваемом случае МП-оценки асимптотически не смещены,
состоятельны, и имеют минимальную дисперсию.
Для нормального распределения величины
ξ
логарифмическая
функция правдоподобия имеет вид:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
