Составители:
Рубрика:
Глава 2. Два подхода к моделированию и прогноз
69
(
)
()
∑
=
−−−=
N
i
i
aX
N
aL
1
2
2
22
2
1
2ln
2
),(ln
σ
πσσ
. (2.27)
Нетрудно убедится, что МП-оценки параметров a и
2
σ
совпадают с
эмпирическим средним (2.18) и эмпирической дисперсией (2.20). МП-
оценка дисперсии смещена, но при увеличении N она стремится к
несмещенной оценке (2.21), т.е. является асимптотически несмещенной.
Можно показать, что МП-оценка
a
ˆ
тоже распределена в этом случае по
нормальному закону с математическим ожиданием a и дисперсией
N
2
σ
(рис.2.7). Отсюда видно, что при большом числе испытаний значение
эмпирического среднего приближается к истинному значению a,
поскольку дисперсия распределения уменьшается с ростом N. В частности,
вероятность того, что
Naa
σ
96.1
ˆ
>−
, равна 0.95.
Интервал
]96.1
ˆ
,96.1
ˆ
[ NaNa
σσ
+−
называется 95%-ным
доверительным интервалом для величины a. Чем больше N, тем уже этот
интервал. Для его оценки можно заменить истинное значение
σ
на оценку
σ
ˆ
. Оценка
a
ˆ
называется точечной (это одно число – одна точка). Если же
указывается интервал наиболее правдоподобных значений параметра, то
оценка называется интервальной. Интервальные оценки очень
желательны, т.к. по значению точечной оценки нельзя сказать, насколько
оно может отклоняться от истинного.
2.2.1.8. Когда несостоятелен ММП?
Обсудим одну из ситуаций,
когда ММП может дать асимптотически смещенные оценки. Например,
это задача исследования зависимости между двумя переменными, когда
значения обеих известны с ошибками. Она изучается в разделе статистики,
называемом конфлюэнтным анализом [1, 93]. Пусть имеется некоторая
случайная величина
Z
, а также величины
X
и
Y
, связанные с
Z
как [287]:
,
,
η
ξ
+=
+
=
ZY
Z
X
(2.28)
где
ξ
и
η
– независимые друг от друга и от X, Y нормально распределенные
случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковой
дисперсией
2
σ
. Можно сказать, что X и Y – это величины, полученные при
измерении Z двумя независимыми способами. Есть выборка значений
величин X и Y, полученная в результате независимых испытаний
{}
N
i
ii
yx
1
,
=
.
Нужно оценить дисперсию ошибок измерений
2
σ
.
Наиболее простой способ получения оценки – заметить, что величина
η
ξ
−=− Y
X
является нормально распределенной случайной величиной с
нулевым математическим ожиданием и дисперсией
2
2
σ
(дисперсия суммы
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
