Составители:
Рубрика:
Часть I. Модели и прогноз
76
процессов, являются, по-видимому, принципиально ограниченными и не
очень большими с практической точки зрения. Если исследуемый процесс
– хаотический, т.е. близкие траектории экспоненциально разбегаются, то
естественно ожидать, что дальность прогноза этого процесса связана со
скоростью разбегания близких траекторий. Последняя определяется
величиной его старшего ляпуновского показателя
1
Λ
(п. 2.1.4). В качестве
оценки дальности прогноза для некоторой динамической модели разумно
взять величину интервала, на котором малое возмущение (которое
определяется различными источниками возмущений в системе и ошибками
модели) нарастает до характерных масштабов изменения наблюдаемой
величины. Дальность прогноза может быть грубо оценена по формуле:
,ln
2
1
222
2
1
pred
M
x
∆
++
Λ
=
σσσ
σ
τ
µν
(2.34)
где
2
µ
σ
– дисперсия динамического шума,
2
v
σ
– дисперсия измерительного
шума,
2
M∆
σ
– погрешности модели (дисперсия «шумов незнания»),
2
x
σ
–
дисперсия наблюдаемой величины [96], а старший ляпуновский показатель
1
Λ положителен. Получить эту формулу можно из следующих
соображений. Пусть нам точно известны уравнения исходной системы, но
начальные условия мы знаем только с погрешностью
ε
(измерительный
шум). Тогда, взяв в качестве начальных условий модели эти
«неправильные значения», получим, что в среднем ошибка прогноза растет
как
t
e
1
Λ
⋅
ε
. Если дальность прогноза определить как время, за которое
ошибка прогноза достигает
x
σ
, то получим
ε
σ
τ
x
pred
ln
1
1
Λ
=
. Величину
1
1
Λ
=
Λ
τ
называют ляпуновским временем. Пусть теперь в системе имеется
не только шум измерений с дисперсией
22
εσ
ν
= , но и внешние случайные
воздействия, и погрешности модели. Если считать все эти факторы
примерно независимыми, то дисперсия итогового возмущения равна сумме
дисперсий компонент. Заменив
ε
в последней формуле для
pred
τ
на корень
квадратный из суммы квадратов дисперсий компонент, получим
выражение (2.34).
Если шумы и погрешности модели не велики по сравнению с уровнем
сигнала, то (2.34) может значительно превышать время корреляции
процесса, которое в ряде случаев может быть грубо оценено как
1
1~
Λ
c
τ
.
Так, если уровень сигнала больше уровня шумов по среднеквадратичному
отклонению в 1000 раз, то дальность прогноза по (2.34) превосходит время
корреляции примерно в 7 раз.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
